第9章联立方程模型培训资料

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1、第九章 联立方程模型,教师：卢时光,9.1 联立方程模型的性质 在前面的学习中，我们仅仅考察了单一方程模型，也就是只有一个应变量Y和一个或多个解释变量X的模型。在这些模型中，重点放在估计和预测X变量的固定值为条件下的Y的均值。因此在这样的模型中因果关系是从X到Y。 但是有许多情形这种单向的因果关系是没有意义的。比如，Y决定于X而同时某些X又反过来决定于Y。简而言之，Y和X之间有一种双向或联立的关系，以至于我们无法区分哪些是应变量而哪些是解释变量。 解决上述问题的方法之一，就是把一组变量合在一起，它们是能由另外一组变量联合地决定的，这种方法就是联立方程模型。在这种模型中有多于一个的方程，每个相互

2、地或共同地依赖的变量，称为内生变量，占有一个方程。例如，宏观经济收入-消费的例子中，消费C是受到收入Y的影响（C=+Y），而收入Y=C+I。C和Y被称为内生变量，而此时的I被称为外生变量。 在联立方程的参数估计时，我们必须要考虑到方程组中其他方程所提供的信息。,例1：需求和供给模型 一个商品的价格和数量是由需求和供给曲线的交点决定的。简单起见，我们假定需求和供给曲线是线性的，加上随机干扰项u1和u2，可以写成经验需求和供给函数： 诸和是参数，根据经验，预测1为负（需求曲线是向右下方倾斜的，需求量与价格呈负相关。）1为正（供给曲线是向右上方倾斜的，供给量与价格呈正相关。）,例2：凯恩斯收入决定模

3、型 宏观经济学中，简单的收入决定模型： 参数1称为边际消费倾向，经济理论预测1位于0和1之间。方程1是个随机消费函数，而方程2是收入恒等式，总收入等于总消费加上总投资（投资等于储蓄）。用图形来表示：,从上图中可以看出，C和Y是相互依赖的，并且不能指望方程1中的Yt会独立于干扰项ut。因为当ut变动时（由于误差项包含了种种因素），消费函数也会随之移动，而消费的变动又反过来影响Y。 由此，经典最小二乘方法对上述模型不适用。,例3：计量经济模型：克莱因模型I 一些计量经济学家在它们构造的计量经济模型中曾广泛地使用联立方程模型。下列模型被称为克莱因模型I。 在模型中，变量C、I、W、Y、P和K被看作联

4、合应变量或内生变量，而变量Pt-1、Kt-1和Yt-1被看作前定的。 我们会发现，它们不是独立于随机干扰项的，因此不能够用OLS法逐个地估计方程组中的方程，这样得来的估计量是非一致性的，即使是大样本，它们也不收敛于真实值。,9.2 联立方程偏误：OLS估计量的非一致性 为了说明这点，我们回到例2中简单的凯恩斯收入决定模型。 假定： 即满足经典线性回归模型的假设。 （1）Yt和ut是相关的 把方程（1）带入方程（2） 即： 现在，对式子两边求期望，注意E(ut)=0，而I是外生变量，其期望就是其本身：,现在用Yt减去E(Yt)，结果是： 而 （为什么？） 由此得： Yt和ut的协方差的推导，用到

5、了上面两个式子的结论。 这样，2是正的（0），所以Yt和ut的协方差一定不为零。这样， Yt和ut存在相关关系。这样违反了经典线性回归模型的假定：干扰与解释变量相互独立或至少不相关。如上所述，在这种情形下，OLS估计量是非一致性的。,（2）OLS估计量 的非一致性估计量 和前面一样，小写字母代表对均值的离差。将C的表达式代入上式： 上式的推导用到了 和 两个关系式。对上式两边求期望值：,9.3 联立方程偏误：一个数值例子 为零说明上述问题，我们回到凯恩斯收入决定模型，并完成以下蒙特卡罗研究。假定投资I的取值有左表中给出。再假定： 根据这些假设产生的ut，见第四列。 假定消费函数的参数已知：0=

6、2，1=0.8。,直观的看，除非 为零，否则 一个有偏的估计量。,由于真实的0和1是已知的，再由于我们样本的误差恰好等于“真实”的误差（因为误差项源自蒙特卡罗法）。如果我们用左表中的数据来对C对Y的回归，如果回归是无偏的，那么我们应该得到0=2，1=0.8。但是，如果Y对干扰项u存在相关性，则情形就不会这样。 根据数据，得到： 就是说 有0.02065的过高估计。 回归结果是： 回归结果没有恰好得出0=2，1=0.8 的结果，而是有偏误的。,9.4 符号和定义 为了便于进一步讨论，我们引入下列符号和定义。一般的M个内生或联合应变量的M个方程模型可以写成如下方程组：,进入模型的变量被分为两类：

7、内生变量：指其值是由模型内部决定的。被视为随机的。 前定变量：指其值是由模型外部决定的。被视为非随机的。 前定变量又被分为两类： 外生变量：包括当前的或滞后的，以及滞后的内生变量。 例如，X1t是当前的外生变量；X1(t-1)是滞后一期的滞后外生变量； Y1(t-1)是滞后一期的内生变量，但因为在当时期间里Y1(t-1)是已知值，故看做是非随机的，因而也被称为前定变量。 总之，当期外生、滞后外生和滞后内生变量都被认为是前定的，在当期里，它们的值不是由模型决定的。 上述模型的方程，也许是描述经济社会的结构，或描述一个经济人的（如消费和生产）行为，所以把这些方程称为结构或行为方程。诸和则被称为结构

8、参数或系数。 从结构方程组可以解出M个内生变量并导出诱导型方程和相应的诱导型系数。所谓诱导型方程，是指纯由前定变量和随机干扰项来表达一个内生变量的方程。,例如：凯恩斯收入决定模型： 模型中C（消费）和Y（收入）都是内生变量，而I（投资）是外生变量。这两个方程都是结构方程。将方程（1）代入到方程（2），经过代数运算得到： 其中： 上式，则由外生变量I和随机干扰项u来表达的，是一个诱导型方程。0、1和wt是相应的诱导型系数。将Y值代入方程（1），得到另一个诱导型方程：,9.5 识别问题 所谓识别问题，是指能否从所估计的诱导型系数求出一个结构方程的参数的数值估计。如果能够，就说该方程是可以识别的。如

9、果不能，就说所考虑的方程是不可识别的或不足识别的。 （1）不足识别情形 考虑供需模型： 由均衡条件我们得到：,解上述方程，得到均衡价格： （1） 其中： 将Pt代入原方程，得到均衡数量： （2） 其中： 误差项vt和wt是原始误差项u1和u2的线性组合。 方程（1）和方程（2）为诱导型方程。现在我们的方程中包含有4个结构系数0、1、0和1，但此时我们无法解出来，因为4个未知数，必须有4个独立的方程。同时，上述方程只有常数项而不包含任何解释变量，因此无法使用OLS，方程也仅给出P和Q的均值。,上述分析表明，给定P和Q的时间序列数据而无任何其他信息，研究者将无法保证他所估计的是需求函数还是供给函数

10、。换句话说，给定的一对P和Q，由于供求相等的均衡条件，仅代表适当的需求和供给曲线的交点。请看下图： 图（a）给出几个联系P和Q的散点，每个散点代表一条需求曲线和供给曲线的交点，如（b）中所示。现在拿一个点来考虑，如（c）中的那个点，我们无法肯定这个点是由图中整个供求曲线族中的那一条需求曲线和供给曲线产生的。,为此，我们需要有关供求曲线性质的一些其他信息，例如，由于收入、消费偏好的变换，需求曲线随时间而变化，而供给曲线保持相对的稳定，如图（d）那样，则散点将描绘出一条供给曲线，这时供给曲线是可识别的。 同理，如果由于天气的变换，或其他外部因素的变换，供给曲线随时间而迁移，但需求曲线保持相对的稳定

11、，如同（e）中那样，则散点将描绘一条需求曲线，这对我们来说，需求曲线是可识别的。,（2）恰可识别的情形 仍然使用需求-供给模型，现在由下述方程给出： 和原来的模型相比，需求函数多了一个变量I，I表示消费者的收入，是一个外生变量，其他变量定义如前。 从需求的经济理论可知，收入常常是对大多数商品和服务需求的一个重要的解释变量。对大多数商品和服务而言，可以预料收入对消费有正的影响（20）。 利用市场均衡的概念：需求量=供给量，有： 从中解出Pt的均衡值： （3） 其中：,将Pt代回原方程，得到均衡数量Q： （4） 其中： 方程（3）和方程（4）都是诱导型方程，可用OLS法估计它们的参数1、2、3和4

12、。但是供求模型中包含了5个结构系数0、1、2、1和2，这时要想得到全部结构系数的唯一解是不可能的，因为我们只有4个方程，无法给出5个未知数的唯一解。 但是，我们发现供给函数的参数是可识别的，因为：,但是，此时需求函数仍然是不可识别的。我们无法得到0、1和2的全部估计。 注意一个有趣的事实：在需求函数中增加了一个变量，使得我们能够识别供给函数。原因在于，在需求函数中增加了变量I对需求的变异提供了额外的信息，如同图（e）所示。该图表明，稳定的供给函数和变化的需求函数的交点，使得我们可以去识别供给曲线。 如同我们即将看到，一个方程的可识别性，常常依赖于它是否排除了包含在模型里其他方程中的一个或多个变

13、量。也就是说，其他方程中应该包含该方程中未包含的其他若干变量。,考虑下述供需模型： 与前面的模型相比，供给函数包含了一个新解释变量：滞后一期的价格。该供给模型假设，一个商品的供给量依赖于它当期的和前一期的价格。对于Pt-1在时间t而言，是已知的，所以它是一个前定变量。 解方程得到均衡价格P和均衡数量Q：,上述方程中含有6个结构系数：0、1、2、0、1、和2；同时含有6个诱导系数：0、1、2、3、4和5。这样，6个未知数，有6个方程。正常情况下，我们应该能够得到唯一的估计值。因此需求方程和供给方程的参数都是可以识别的。 （3）过度识别情形 考虑下列模型，除了已经定义的变量外，我们增加了R代表财富

14、。对于大多数商品和服务而言，财富和收入一样，会对消费产生正的影响。,仍然令需求量=供给量，得到解如下： 其中： 上述方程中含有7个结构系数，但用于估计它们的有8个方程（8个诱导型系数）。方程的个数大于未知数的个数。由上述诱导系数可得： 或者：,就是说，对于供给方程的价格函数有两个估计值，但不保证这两个估计值是相同的。此外1出现在所有的诱导型系数的分母中，在1估计中的不确定性还会传递给其他的估计值。 为什么增加了R（财富）解释变量后，模型反而不能恰好识别呢？答案是为了识别供给方程，我们有了“太多”的或“过于充分”的信息。这种情形和信息太少而不足以识别的情形正好适得其反。 在模型中供给函数不仅排除

15、收入变量，还排除了财富变量。换句话说，在模型中，对供给函数施加了“过多”的约束，要求它排除多于识别它所需要的变量个数。 以上分析表明：联立方程模型中的一个方程可以是不足识别的或可识别的（过度或恰好）。如果模型中的每个方程都是可以识别的，就说整个模型是可识别的。,9.6 识别规则 前面我们利用诱导型方程帮助我们判明方程的识别问题，而诱导型方程方法过于繁复。识别的阶条件和秩条件，提供了一种系统性的例行程序。 引入符号： M：模型中内生变量的个数 m：给定方程中内生变量的个数 K：模型中前定变量的个数 k：给定方程中前定变量的个数 （1）可识别的阶条件 定义1：在一个含有M个联立方程的模型中，为了使

16、一个方程能够被识别，它必须排除M1个在模型中出现的变量（内生的或前定的）。如果它恰好排除M 1个变量，则该方程是恰好被识别的，如果它排除了多于M1个变量，则它是过度识别的。 定义2：在一个含有M个联立方程的模型中，为了使一个方程能够被识别，该方程所排除的前定变量的个数必须不少于它所含有的内生变量的个数减1（即：K km 1 ）。如果K km 1 ，则方程是恰好被识别的，如果K km 1 ，则它是过度识别的。,例1： 例2：,例3： 例4：,（2）可识别的秩条件 前面讨论的阶条件是识别的必要条件而非充分条件。就是说，即使它得到了满足，方程也可能会出现不能识别的问题。因此我们需要一个充要的识别条件：秩条件。 可识别性的秩条件：在一个含M个内生变量的M个方程的模型中，一个方程是可识别的，当且仅当，我们能从模型（其他方程）所含而