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1、第3章 误差的合成与分配,第一节函数误差,任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。如何正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响，这就是误差合成要研究的基本内容。,前面所讨论的主要是直接测量的误差计算，但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，需要采用间接测量。,间接测量,通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量。,函数误差,间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差
2、的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。,一、函数系统误差计算,第一节函数误差,间接测量的数学模型,与被测量有函数关系的各个直接测量值,y 间接测量值,求上述函数 y 的全微分，其表达式为：,若已知各个直接测量值的系统误差x1, x2, , xn, 由于这些误差皆较小, 可用来近似代替上式中相应微分量dx1, dx2, , dxn, 则有,和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用,和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用,由 y 的全微分，函数系统误差 的计算公式,为各个直接测量值 的误差传递系数,也称灵敏系数,第一节函数误差,几种简单函数的系统误
3、差,1、线性函数,2、三角函数形式,系统误差公式,当,当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和,第一节函数误差,【例3-1】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 l = 500mm。已知，弓高的系统误差 h = -0.1mm , 弦长的系统误差 l = 1mm .试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果.,【解】,建立间接测量大工件直径的函数模型,用勾股定理有,不考虑测量值的系统误差，可求出在 处的直径测量值,第一节函数误差,直径的系统误差:,修正后的测量结果:,误差传递系数为:,第一节函数误差
4、,根据,和,求得,已知h = -0.1mm, l = 1mm, 代入则得,计算结果说明, l和h的对D的综合影响是使得间接测量的D值1300mm大于应有值, 故消除 l和h的影响,二、函数随机误差计算,第一节函数误差,数学模型,变量中只有随机误差,泰勒展开，并取其一阶项作为近似值,函数的一般形式,得到,即：,可得：,第一节函数误差,随机误差可用表征其取值分散程度的标准差来评定，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此，函数随机误差计算，重点研究函数 y 的标准差与各直接测量值x1, x2, , xn的标准差之间的关系。,函数的一般形式,为求得函数的标准差公式，设对各个测量值皆进行
5、了N次等精度测量，其相应的随机误差为,将右侧方程组中的每个方程两边平方, 可得,第一节函数误差,可得函数标准差,将方程组两边相加可得,将上式等号两边除以N, 根据,函数标准差计算公式,或,第i 个直接测得量 的标准差,第i 个测量值和第 j 个测量值之间的相关系数,第i 个测量值和第j 个测量值之间的协方差,第i个直接测得量 xi 的误差传递系数,第一节函数误差,Kij,或,相互独立的函数标准差计算,若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项,令,第一节函数误差,则,当各个测量值的随机误差都为正态分布时,标准差用极限误差代替(不至于混淆时,用代替lim),可得函数的极限误差公式,第i 个直接测得
6、量 的极限误差,Kij,=,三角形式的函数随机误差公式,1） 正弦函数形式为:,函数随机误差公式为：,第一节函数误差,2） 余弦函数形式为:,函数随机误差公式为：,三角函数标准差计算,3） 正切函数形式为:,函数随机误差公式为：,4） 余弦函数形式为:,函数随机误差公式为：,第一节函数误差,例3-2 对例3-1用弓高弦长法间接测量大直径D,若已知,根据前面推导,求得直径的极限误差为,则所求直径D的最后结果为,+,相关系数对函数误差的影响,反映了各随机误差分量(直接测量值)相互间的线性关联对函数总误差的影响, -1ij1,函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系,函数随机误差公式,
7、当相关系数 时(误差分量间线性无关),当相关系数 时(误差分量间完全正相关),2、 相关系数估计,第一节函数误差,Kij,相关系数的确定,可判断 的情形,断定两分量之间没有相互依赖关系的影响,当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈无规律正负交替变化，反之亦然,两分量属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量,虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关,1、直接判断法,第一节函数误差,可判断 或 的情形,两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系,当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然,两分量属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2
8、m尺，则各米分量间完全正相关,第一节函数误差,2、试样观察法和简略计算法,（1） 观察法,用多组测量的两误差对应值(i , i )作图，将它与标准图形相比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。,第一节函数误差,（2） 简单计算法,将多组测量的对应值(i , i )在坐标上作图，然后作平行于纵轴的直线A将点阵左右均分，再作平行于横轴的直线B将点阵上下均分，于是将点阵分为四部分，设各部分的点数分别为n1,n2 , n3,n4,则可证明相关系数为,其中，,（3） 直接计算法 按相关系数定义,（4） 理论计算法,有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。,第二节随机误差的合成,
9、任何测量结果中包含的测量误差都是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果. 误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上, 正确地表述这些误差的综合影响。,标准差合成,极限误差合成,随机误差具有随机性,用标准差或极限误差表征其取值的分散程度。解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响。,随机误差的合成形式包括：,一、标准差合成,合成标准差表达式:,q 个单项随机误差，标准差,误差传递系数,由间接测量的显函数模型求得,根据实际经验给出,知道影响测量结果的误差因素 而不知道每个 和,第二节随机误差的合成,当误差传播系数 、且
10、各相关系数均可视为 0 的情形,第二节随机误差的合成,若各个误差互不相关，即相关系数,则合成标准差,用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差,视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量,二、极限误差合成,单项极限误差:,i 单项随机误差的标准差,ti 单项极限误差的置信系数,合成极限误差:, 合成标准差,t 合成极限误差的置信系数,第二节随机误差的合成,合成极限误差计算公式,根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成,各个置信系数 t
11、i 、 t 不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关,对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同,对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同,第二节随机误差的合成,ij 为第 i 个和第 j 个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。,应用极限误差合成公式时，应注意：,当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q 较多、各项误差大小相近时，此时合成的总误差接近于正态分布,合成极限误差：,若,和,各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，所以上式是较为广泛使用的极限误差合成公式,第二节
12、随机误差的合成,时：,此时,若,时：,=,第三节系统误差合成,一、已定系统误差的合成,系统误差的分类：,1） 已定系统误差 2） 未定系统误差,定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 表示符号：,合成方法：按照代数和法进行合成,i 为第 i 个系统误差，ai 为其传递系数,系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除,二、未定系统误差的合成,第三节系统误差合成,（一） 未定系统误差的特征及其评定,定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围 e 的系统误差,特征： 1） 在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固
13、定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性 2） 随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概率分布，具有随机误差的特性。,表示符号： 极限误差：e 标准差：u,1、标准差合成,第三节系统误差合成,（二） 未定系统误差的合成,未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。 同随机误差的合成时情形类似，未定系统误差合成时既可以按照标准差形式合成，也可以按照
14、极限误差的形式合成。,若测量过程中有 s 个单项未定系统误差，它们的标准差分别为 u1，u2，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，as ，则合成后未定系统误差的总标准差 u 为:,则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：,式中，ij 为第 i 个和第 j 个误差项的相关系数,第三节系统误差合成,当 ij=0 时,2、极限误差的合成,因为各个单项未定系统误差的极限误差为:,若总的未定系统误差极限误差表示为：,则有：,第三节系统误差合成,或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：,当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即 ，则上
15、式可简化为：,第四节系统误差与随机误差的合成,一、按极限误差合成,不同性质误差的合成可按照两种形式进行合成：按极限误差形式合成、按标准差形式合成。,测量过程中，假定有 r 个单项已定系统误差，s 个单项未定系统误差，q 个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：,1、单次测量情况,若各个误差的传递系数取 1，则测量结果总的极限误差为：,式中，R 为各个误差之间的协方差之和。,当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：,第四节系统误差与随机误差的合成,一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：
16、,2、n 次重复测量情况,当每项误差都进行 n 次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n 。,总极限误差变为：,第四节系统误差与随机误差的合成,二、按标准差合成,测量过程中，假定有 s 个单项未定系统误差，q 个单项随机误差，它们的标准差分别为：,1、单次测量情况,若各个误差的传递系数取 1，则测量结果总的标准差为：,式中，R 为各个误差之间的协方差之和。,若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，类似前述可只考虑未定系统误差与随机误差的合成。,当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：,2、n 次重复测量情况,当每项误差都进行 n 次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数 n 。,第四节系统误差与随机误差的合成,总标准差变为：,【例】 在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共2次，测得结果分
