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1、第三章三角函数、解三角形(理)五年新课标全国卷试题分析高考考点分布示例图命题特点1.从高考题型、题量来看，一般有两种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题，分值上占17分左右2.客观题主要考查：三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识3.难度较大的客观题，主要在知识点的交汇处命制，如向量与三角的结合、正、余弦定理与三角恒等变换的结合等，主要考查数形结合、转化与化归思想4.解答题涉及知识点较为综合涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.(文)五年新课标全国卷试题分析高考考点分布示例图命题特点1.从高考题型、题量来看，一般有两
2、种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题，分值上占17分左右2.客观题主要考查：三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识3.难度较大的客观题，主要在知识点的交汇处命制，如向量与三角的结合、正、余弦定理与三角恒等变换的结合等，主要考查数形结合、转化与化归思想4.解答题涉及知识点较为综合涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数Z 1任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角正角：按_逆时针_方向旋转形成的角负角：按_顺时针_方向旋转形成的角零角：如果一条射线_
3、没有作任何旋转_，我们称它形成了一个零角(2)终边相同角：与终边相同的角可表示为：|2k，kZ，或|k360，kZ(3)象限角：角的终边落在_第几象限_就称为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角轴线角2弧度制(1)1度的角：_把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1的角_.(2)1弧度的角：_弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角_.(3)角度与弧度的换算：360_2_rad,1_rad,1rad(_)5718.(4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，则此扇形的弧长l_|r_，面积S_|r2_lr_.3任意角的三角函数定义(1)设是一个任意角，的终边上任意一点(非
4、顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sin_，cos_，tan_.(2)三角函数在各象限的符号是：sincostan_记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的_正弦_线、_余弦_线和_正切_线4终边相同的角的三角函数sin(k2)_sin_，cos(k2)_cos_，tan(k2)_tan_(其中kZ)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等Z 1终边相同的角与对称性拓展(1)，终边相同2k，kZ.(2)，终边关于x轴对称2k
5、，kZ.(3)，终边关于y轴对称2k，kZ.(4)，终边关于原点对称2k，kZ.2终边相同的角不一定相等，相等角的终边一定相同，在书写与角终边相同的角时，单位必须一致3角的终边与单位圆交点的坐标为(cos，sin)，且|sin|1，|cos|1.S 1判断下列说法是否正确(打“”或“”).(1)小于90的角是锐角()(2)锐角都是第一象限角()(3)第二象限角大于第一象限角()(4)若将分针拨快10分钟，则分针转过的角度是.()(5)角k(kZ)是第一象限角()(6)若sinsin，则.()(7)300角与60角的终边相同()(8)若A|2k，kZ，B|4k，kZ，则AB()2(必修4P10T
6、10改编)单位圆中，200的圆心角所对的弧长为(D)A10B9CD解析单位圆的半径r1,200的弧度数是200，由弧度数的定义得，所以l.3(必修4P15T6改编)若角满足tan0，sin0知，是一、三象限角，由sin0知，是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故是第三象限角4sin(270)(D)A1B0CD1解析sin(270)sin(270360)sin901，故选D5(2017杭州模拟)设是第二象限角，P(x,4)为其终边上一点，且cosx，则x_3_，tan_.解析因为是第二象限角，P(x,4)为其终边上一点，所以x0)，yx(x0)上的角的集合为A|2k，kZ，终边在yx(x0)上的
7、角的集合为B|2k，kZ|(2k1)、kZ终边在直线yx上的角的集合为AB|k，kZ(3)由角的终边在第二象限，所以k2k2，kZ，所以22，kZ，当k2m，mZ时，m2m2，mZ，所以在第一象限；当k2m1，mZ时，m2m2，mZ，所以在第三象限，综上，的终边在第一或三象限引申(1)本例题(3)中，若把第二象限改为第三象限，则结果如何？(2)在本例题(3)中，条件不变，的终边所在的位置是_在第一、二或四象限_.(3)在本例(3)中，条件不变，则是第_一_象限角，2终边的位置是_第三或第四象限或y轴负半轴上_.答案(1)的终边在第二或第四象限名师点拨1迅速进行角度和弧度的互化，准确判断角所在的
8、象限是学习三角函数知识必备的基本功，若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化成2k(02)(kZ)的形式，然后再根据所在的象限予以判断，这里要特别注意是的偶数倍，而不是的整数倍2终边相同角的表达式的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角3确定(kN*)的终边位置的方法(1)讨论法：用终边相同角的形式表示出角的范围写出的范围根据k的可能取值讨论确定的终边所在位置(2)等分象限角的方法：已知角是第m(m1,2,3,4)象限角，求是第几象限角等分：将每个象限分成k等份标注：从x轴正半轴开始，
9、按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x轴正半轴选答：出现数字m的区域，即为所在的象限如判断象限问题可采用等分象限法变式训练1(1)在区间720，0内所有与45角终边相同的角为_675_315_(2)与2016角的终边相同的最小正角是_216_，绝对值最小的角是_144_.(3)(2018长春市模拟)若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线yx上，则角的取值集合是(D)A|2k，kZB|2k，kZC|k，kZD|k，kZ解析(1)所有与角有相同终边的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600，得765k36045，解得k，从而k2或k1，代入得675
10、或315.(2)2 0185360218，最小正角是218.又2 0186360142，绝对值最小的角是144.(3)ktan()，k(kZ)，故选D考点2扇形的弧长、面积公式的应用例2 已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l，(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？分析(1)将化为弧度，代入弧长公式求l；(2)由已知得l2R20，S扇lR，消去l，得关于R的二次函数，从而可确定S扇的最大值，再确定的值解析(1)60rad，R10 cm，lR10(cm)(2)由题意得l2R20，l202R.S扇lR(202R)RR210R(R5)225.当R5时，S扇有最大值25.此时l202510，2rad.当a2rad时，扇形面积最大名师点拨弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷但要注意圆心角的单位是弧度(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值(3)记住下列公式：lR；SlR；SaR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(02
