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1、第二章 系统的数学模型,2.1 系统的微分方程一、引言,数学模型:描述系统动态特性的数学表达式,时域数学模型：,(),差分方程(),状态方程,复域数学模型：,传递函数(),Z传递函数(),频域数学模型：,频率特性,数学建模的一般方法：,1.分析法：,根据系统或元件所遵循的有关定律来建模,2.实验法：,根据实验数据整理拟合数模,实验法列微分方程举例OriginPro 8,实验法列微分方程举例OriginPro 8,实验法列微分方程举例OriginPro 8,连续系统的微分方程的一般形式：,分别为系统输出和输入;,为微分方程系数,若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微分方程表示的系统为
2、线性系统；否则，系统为非线性系统。对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统。,线性定常系统,线性时变系统,非线性系统,线性系统的叠加原理,列写微分方程的步骤如下：,确定系统的输入量和输出量。 注意：输入量包括给定输入量和扰动量,2. 按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵 循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。,注意：负载效应，非线性项的线性化。,3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。,4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。,二、列写微分方程的一般方法,质量,弹簧,阻尼,一）机械系统,电路元件两端电位差v21
3、,二）电网络,电感,电阻,电容,两端相对速度v21,例1：图示机械系统 m-c-k，列写微分方程。,1. 明确：,2. 牛顿第二定律 列写原始微分方程：,3. 整理：,系统输入 f (t) 系统输出 x(t),例2：图示电网络，列写微分方程。,1. 明确系统的输入与输出：,输入u(t)，输出电量q,2. 列写原始微分方程：,3. 消除中间变量，并整理,例3：列写微分方程,1. 明确：输入T，输出x(t),2. 微分方程：,3. 消除中间变量 f、q，并整理：,q0,例4：图示电网络，列写微分方程。,1. 明确系统的输入与输出：,输入u1，输出u2,2. 列写微分方程：,3. 消除中间变量 i1
4、、i2，并整理：,例5 直流电动机,1. 明确输入与输出：,输入ua 和ML，输出w,2. 列写原始微分方程：,3.消除中间变量，并整理：,电机的反电势ed 反电势常数kd 电磁力矩M 电磁力矩常数km,得,设平衡点,设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型,当偏离平衡点时，有,则,增量化,即有,1. 增量化方程与实际坐标方程形式相同,2. 当平衡点为坐标原点时，二者等价；否则，二者不等价。,线性化的条件：,1. 非线性函数是连续函数(即不是本质非线性)。,2. 系统在预定工作点附近作小偏差运动,线性化的方法：,1. 确定预定工作点(平衡位置)。,2. 在工作点附近将非线性方程展开成Taylor
5、级数形式。,3. 忽略高阶小项。,4. 表示成增量化方程的形式。,非线性方程的线性化,例6 液压伺服机构,1. 明确 输入 x，输出y,2. 列写原始微分方程,液压油流量,设,滑阀特性,3. 非线性函数线性化：,(1) 确定系统预定工作点,(2) 二元泰勒公式展开,已略去高阶小量,例6 液压伺服机构,3. 非线性函数线性化：,(1) 确定系统预定工作点,(2) 二元泰勒公式展开,(3) 增量方程,4. 代入原方程,整理得,1. 非线性项线性化后微分方程是增量形式的微分方程。,2. 线性化的结果与系统的预定工作点有关。,3. 非线性项线性化必须满足连续性和小偏差条件。,线性化特点：,如：本例中，
6、不同预定点的kq、kc不同,三、相似系统,数学模型形式相同,组成系统的 物理元件不同,相似系统：具有相同形式数学模型的不同物理构成的系统。,相似量：,质量元件,弹簧元件,阻尼元件,电感元件,电阻元件,电容元件,2.2 系统的传递函数,连续系统的微分方程的一般形式：,在零初始条件下，对方程两边拉氏变换，得：,系统固有特性,系统与外界联系,传递函数,传递函数定义：,零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,传递函数特点：,1.传递函数是关于复变量s的复变函数，为复域数学模型；,2.传递函数的分母反映系统本身与外界无关的固有特性， 传递函数的分子反映系统与外界的联系；,3. 在
7、零初始条件下，当输入确定时，系统的输出完全取决于系 统的传递函数,4.物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数(相似系统),传递函数方框,零点：,影响瞬态响应曲线的形状，不影响稳定性。,极点：,决定系统瞬态响应的收敛性，决定稳定性。,放大系数(增益)：,设阶跃信号输入,对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点、极点、放大系数的研究。,系统的稳态输出,传递函数的零极点模型,微分方程的特征根,例1：求图示系统的传递函数,1.确定系统输入与输出：,2.列写原始微分方程：,3.在零初始条件下，进行拉氏变换：,4.消除中间变量，并整理得：,3.在零初始条件下，进行拉氏变换：,5.传递函数,系统传递函数
8、往往是高阶的，高阶传递函数可化为比例、惯性、积分、微分、振荡等低阶典型环节传递函数的组合,1. 比例环节,动力学方程：,传递函数：,特点：输出量与输入量成正比；不失真，不延迟。,例：,输出正比于输入,五、典型环节传递函数,存在储能元件和耗能元件。 阶跃输入时，输出经过一段时间才到稳态值。,输出的导数与输出之和正比于输入,动力学方程：,传递函数：,特点：,2. 惯性环节,例1：,例2：,3. 微分环节,动力学方程：,传递函数：,特点：,一般不能单独存在,增加阻尼； 强化噪声。,输出正比于输入的变化率,例1：,微分运算电路,机械液压阻尼器,缓冲，减小偏移幅度,油缸力平衡,节流阀流量,例2：,若T1
9、,4. 积分环节,动力学方程：,传递函数：,若输入单位阶跃信号 xi(t)=1 , Xi(s)=1/s,特点：,输出正比于输入的累积量,则输出为,1). 输出反映输入量的累积,2). 输出滞后于输入, 经过时间T ，输出才等于输入,3). 输出具有记忆功能 经过一段时间后，输入变为0，输出稳定不变,例1：,例2：积分运算电路,式中，,凡有储存或积累特点的元件、环节、系统都有积分特性,如：水库、植物、水垢、黄土高原、海洋盐分,5. 振荡环节,无阻尼固有频率wn，时间常数T=1/ wn , 阻尼比x,(1) 0 x 1 时，输出振荡。,(2) x 1时，输出无振荡,不是振荡环节,且x越小，振荡越剧
10、烈,(3) 振荡环节一般含有两个储能元件和一个耗能元件,特点:,例1:,例2 旋转运动的J-c-k系统,例3 L-R-C电路,6. 延时环节,特点：输出滞后于输入，但不失真,延时环节与惯性环节和比例环节有区别,惯性环节,比例环节,延时环节,动力学方程：,传递函数：,例：轧钢厂钢板厚度检测,一个元件几种环节作用 几个元件一个环节的作用,2. 物理框图：说明物理过程和原理， 框图中，元器件或零部件,典型环节传递函数小结,1. 物理元件个数不一定等于系统的环节个数,3. 同一物理元件在不同系统中，可能作用不同，其 传递函数也不同,可能充当不同典型环节。,传函框图：表示信息传递关系框图中，各环节传递函
11、数,六、系统传递函数方框图,传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示，并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图形。,传递函数方框图三要素,传递函数方框,相加点,分支点,建立传递函数方框图的步骤,(1) 列写各元件微分方程,(2) 在零初始条件下，对上述微分方程进行拉氏变换,(3) 按因果关系，绘制各环节方框图,(4) 按信号流向，依次连接各环节框图左边输入，右边输出，反馈则“倒流”,例1：,1. 列写微分方程：,2.Laplace变换：,3.局部传递函数框图：,4. 系统传递函数框图：,1. 列写微分方程：,2.Laplace变换：,例2：,3.局部传递函数框图：,4. 系统
12、传递函数框图：,变换前后输入输出间的数学关系保持不变,1.串联环节的等效规则：,七、传递函数方框图的等效简化,2.并联环节的等效规则：,3. 反馈连接及其等效规则,前向通道传递函数,反馈通道传递函数,以反馈量B(s)为输出的开环传递函数,闭环传递函数,反馈回路闭合后,3. 反馈连接及其等效规则,特别地，若H(s)=1，则为单位反馈,注意：,前向通道传递函数、反馈通道传递函数、开环传递函数均为局部传递函数；闭环传递函数才是系统传递函数,4. 分支点的移动规则,5. 相加点的移动规则,6.相邻相加点的移动规则：,7.相邻分支点的移动规则：,例1：,简化步骤：消除交叉回路，对嵌套回路，从里到外逐步化
13、简,例2：,一条前向通道：,各反馈回路有公共传递函数方框G2,各反馈回路有公共传递函数方框G2,梅逊公式：一般地，当一个系统传递函数方框图满足如下两个条件：,1)只有一条前向通道；,2)各局部反馈回路中包含公共传递函数方框。,则：系统传递函数可简化成,例3：,八、考虑扰动的反馈控制系统的传递函数,只考虑给定输入时：,只考虑干扰输入时：,线性系统总的输出量：,结论：,1. 闭环系统可抑制干扰的幅度。,2. 闭环系统输入、输出取法不同，则传递函数不同，但传递函数分母不变，而开环系统却不然。,系统总的输出量：,极小值,例1 已知RLC电路，确定电路 的状态变量和状态方程,解：微分方程 模型,选i和u
14、c为状态变量,状态方程，一阶导形式,状态方程，矩阵形式,九、状态空间模型,状态方程，一阶导形式,状态方程，矩阵形式,输出方程,矩阵形式,状态向量,状态空间：由x1轴、 x2轴 xn轴组成的n维空间。,系统任一时刻状态可用状态空间中的一点表示。,状态向量Y,输入量 u,n维状态向量X,输出向量 Y,系统矩阵nn,控制矩阵n1,输出矩阵1n,传递矩阵11,微分方程,描述系统的 数学模型,传递函数,状态空间,必有内在的一致性,必可相互转换,单位矩阵,1、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。20.8.2120.8.21Friday, August 21, 2020 2、阅读一切好书如同和过去最杰出的
15、人谈话。07:37:4107:37:4107:378/21/2020 7:37:41 AM 3、越是没有本领的就越加自命不凡。20.8.2107:37:4107:37Aug-2021-Aug-20 4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。07:37:4107:37:4107:37Friday, August 21, 2020 5、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。20.8.2120.8.2107:37:4107:37:41August 21, 2020 6、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2020年8月21日星期五上午7时37分41秒07:37:4120.8.21 7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。2020年8月上午7时37分20.8.2107:37August 21, 2020 8、业余生活要有意义，不要越轨。2020年8月21日星期五7时37分41秒07:37:4121 August 2020 9、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。上午7时37分41秒上午7时37分07:37:4120.8.21 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。8/21/2020 7:37:41 AM07:37:412020/8/21 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。8/21/2020 7:37 A
