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1、第17章,(Mechanical wave) (6),1,机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波,如声波、水波、地震波等。变化的电磁场在空间的传播称为电磁波,如无线电波、光波、X射线等。 本章主要讨论机械波。 重点：行波方程。,波动振动状态的传播过程。,行波振动状态沿一定方向传播的波。,核心：位相。,2,在弹性媒质中，各质点之间是以弹性力相互联系着的。,1.机械波的产生和传播,17-1 波动的基本概念,产生机械波的条件： 波源产生机械振动； 弹性媒质传播振动状态。,当媒质中的一个质点开始振动后,在弹性力的作用下,就会带动邻近质点振动,邻近质点又带动更远质点振动。这样依次带动,就把振动由近及远
2、地传播出去,形成了波动。,u,3,图17-1,4,应当注意，在波的传播过程中，媒质中的质点并不“随波逐流”, 它们在各自的平衡位置附近振动；传播的是波源的振动状态。,显然, 沿着波的传播方向, 振动是依次落后的。,P点比o点时间落后：,P点比o点位相落后：,(这里：u是波速),5,2.波面和波线,波线(波射线) 波的传播方向。,波面(波阵面) 波动过程中，振动位相相同的点连成的面。最前面的那个波面称为波前。 平面波波面为平面的波动。本章只讨论这种波。 球面波波面为球面的波动。 在各向同性媒质中，波线总是与波面垂直。,横波质点的振动方向与波的传播方向相互垂直。 纵波质点的振动方向和波的传播方向相
3、互平行。,6,1.波速u振动状态(位相)的传播速度，又称相速。波速完全由媒质的性质(弹性和惯性)来确定。,如液体、气体中的纵波，波速：,容变弹性模量,质量密度(惯性),17-2 描述波动的物理量,7,2.波的周期T媒质质元完成一次全振动的时间。波的周期完全由波源(周期)确定。频率 =1/T。,3.波长一个周期内波动传播的距离。,周期T反映波的时间周期性，而波长反映的是波的空间周期性。显然，周期T也就是波传播一个波长距离所需的时间。,(17-1),4.平面简谐波波面为平面，媒质中各质点都作同频率的简谐振动形成的波动。本章主要讨论这种波。,8,17-3 惠更斯原理,媒质中波动传播到的各点,都可以看
4、作是发射子波的波源,其后任一时刻,这些子波的包迹就是新的波阵面。这就是惠更斯原理。 作用：知道某一时刻的波阵面,用几何作图的方法就能确定下一时刻的波阵面,从而确定波的传播方向。,图17-4,9,惠更斯原理的不足：不能求出波的强度分布。,图17-5,用惠更斯原理可以解释波的衍射现象。所谓波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时,其传播方向发生改变,能绕过障碍物的边缘继续前进且强度重新分布的现象。,我们用惠更斯原理画出了新的波阵面及波的传播方向。很明显,波已绕过障碍物的边缘而传播了,即发生了衍射现象。若缝的宽度比波长小得多时,衍射现象将更加显著。,在图17-5中,10,一平面余弦行波在均匀无耗媒质中
5、沿x轴正方向传播,波速u，坐标原点的振动方程为 y=Acos(t+o) 求：波动方程(即坐标为x的P点的振动方程)。,注意这里： x表示各质点的平衡位置到坐标原点的距离； y表示各质点对平衡位置的位移。,如图17-6所示，,11,因为我们研究的是均匀无耗媒质中的平面波，所以P点的振幅与原点的振幅相同，故仍是A。,原点o的振动方程为 y=Acos(t+o),要找出P点的振动方程，只要找出P点的振幅和位相就行了。,如前所述, P点的位相比o点落后x/u, 写为等式有 P点的位相 - o点位相= -x/u 即： P点的位相 - (t+o)= -x/u,12, P点的位相= (t- x/u)+ o,则
6、P点的位相比o点超前 x/u，于是：P点的位相 - (t+o)= + x/u, 这时波动方程应为,于是P点的振动方程(即波动方程)为,若波沿x轴负方向传播，,13,总结起来，波动方程的标准形式应为,式中：“ ”号表示波沿x轴正方向传播； “ ”号表示波沿x轴负方向传播。 o是坐标原点的初相。,考虑到，=2/T，=uT , 波动方程还可写为,14,1.当x=xo(确定值)时，位移y只是时间t的余弦函数:,这是xo处质点的振动方程。,2.当t=to(确定值)时，位移y只是时间x的余弦函数:,此式表示给定时刻to各振动质点的位移分布情况,相应的y-x的曲线就叫做波形曲线，如图17-7所示。,15,上
7、式表明，t 时刻x点的振动状态，经时间t后传播到了x+ut 处。即经时间t波沿x轴正方向传播了距离ut,如图17-8所示。,3.当x,t 都变化时，代表一列沿x轴正方向传播的波。,16,17,求：(1)此波的传播方向，波的振幅、周期、频率、波长和波速，以及坐标原点的振动初相； (2)x=2m处质点的振动方程，及t=1s时该质点的速度和加速度。 (3)x1=1m和x2=2m两点的相差。,解 (1)比较法。,波沿x轴正方向传播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原点的振动初相o=/2。,例题17-1 已知波动方程：,18,(2)将x=2m代入波动方程就得
8、该处质点的振动方程：,t=1s时该质点的速度和加速度为,(3)x1=1m和x2=2m两点的相差：,19,例题17-2 一波动以u=20cm/s沿x轴负方向传播，A点的振动方程为 yA=0.4cos4t(cm), 求波动方程： (1)以A为坐标原点； (2)以B为坐标原点。,解 (1)以A为坐标原点。,=0.4cos4(t,)cm,1.标准函数法：,20,已知A点的振动方程为 yA=0.4cos4t (cm),P(x)点比已知点A时间超前：,波动方程：,y=0.4cos4(t,P(x)点比已知点A 超前用“+”； 落后用“”。,2. t ( t t )法,(超前、落后法),+t ),21,(2)
9、以B为坐标原点。,y=0.4cos4(t,)+o cm,如何找出坐标原点的初相o？,1.标准函数法：,yA=0.4cos4t u=20,抓住已知点A(的位相)：,由此得 o = ,4t,22,已知A点的振动方程为 yA=0.4cos4t (cm),P(x)点比已知点A时间超前：,y=0.4cos4(t ),波动方程：,=0.4cos4(t,+t,23,例题17-3 一波动以速度u沿x轴正方向传播，p点的振动方程为 yp=Acos(t+), 求: (1)坐标原点o的振动方程； (2)波动方程。,解 (1)原点o比p点超前l /u,即 o点位相 - (t+)=l /u o点位相= t+l /u 坐
10、标原点o的振动方程为: y=Acos(t+l /u),(2)波动方程:, o=(+ l /u),24,M(x)点比已知点p时间落后：,已知p点的振动方程为 yp=Acos(t+),波动方程:,令x=0得坐标原点o的振动方程为:,25,例题17-4 一平面简谐波沿x轴正方向传播，振幅A=10cm, 角频率=7rad/s, 当t=1s时，x=10cm处的a点的振动状态为ya=0,a0。设波长10cm, 求该波的波动方程。,当t=1时, 对a点有：,对b点有：,解得：u=84cm/s, o=-17/3= /3,波动方程为,解 把已知填入波动方程：,26,例题17-5 波速为u=0.08m/s的一平面
11、简谐波在t=0时的波形如图17-11所示，图中p点此时正向y轴正方向运动，求该波的波动方程。,解 由p点此时正向y轴正方向运动，可判定此波沿x轴正方向传播。, =2 =0.4。,波动方程可写为,由图可知, =0.4,又已知u=0.08，所以频率 =u/ =0.2,u,27,例题17-6 沿x轴负方向传播的一平面简谐波在t=2s时的波形如图17-12所示，设波速u=0.5m/s，求：(1)图中p点的振动方程；(2)该波的波动方程。,解 (1)由图可知， A=0.5, =2，u=0.5, 所以T=4，= /2。故 p点的振动方程为,(2)该波的波动方程:,28,17-5 平面波的动力学方程,这就是
12、平面波的动力学方程,它是一个微分方程。,29,17-6 波的能量和能流,一.波的能量密度,波动过程也是能量的传播过程。我们以横截面积为S的均匀细长棒中的平面余弦纵波为例来研究波的能量。,在媒质中取一质元dm= dV (为媒质的密度)，该质元长dx、伸长量dy。当波传播到这个质元时,其振动动能和势能分别为,30,(17-15),由胡克定律，,杨氏弹性模量: Y= u2,(17-16),31,质元dm的总能:,(17-18),(3)能量密度(单位体积中波的能量)为,(17-19),(1)任意时刻,质元的动能和势能都相等。即,(2)质元的总能量随时间作周期性的变化。这和振动中的情况也是不同的。这说明
13、,在波动中,随着振动在媒质中的传播,能量也从媒质的一部分传到另一部分,所以,波动是能量传播的一种方式。,这是和振动中的情况完全不同的。,32,平均能量密度：,(17-20),二.波的能流密度(波强),单位时间内，通过垂直于波动传播方向的单位面积的能量,称为能流密度。显然，能流密度也就是通过垂直于波动传播方向的单位面积的功率。,(17-24),设在媒质内垂直于波传播方向取一面积S,则在dt时间内通过S面的能量等于该面后方体积为udt.S中的能量 , 于是平均能流密度(或波强)为,33,三. 声波 声强级,引起人听觉的机械波的频率范围： 20-20000Hz 人耳的听觉并不与声强成正比，而是与声强
14、的对数成正比。取声强Io=10-12(w/m2)为标准，则声强级:,(dB),树叶沙沙：20dB; 正常谈话： 60dB; 闹市：70dB; 飞机起飞：150dB。,34,例题17-7 一平面简谐波在弹性煤质中传播,在某一瞬时,煤质中某质元正处于平衡位置,此时它的能量是,(A)质元的动能为零 , 势能最大。 (B)质元的动能为零 , 势能为零。 (C)质元的动能最大, 势能最大。 (D)质元的动能最大, 势能为零。,答: (C),35,例题17-8 一电台(视为点波源)平均发射功率10kw，求离电台1km处的波强。,解 能流密度(波强)为,显然，直接用上面的公式无法求得结果。但电台(点波源)发
15、出的能量是通过一个个半径为r的球面的，由定义：能流密度也就是通过垂直于波传播方向的单位面积的功率。于是所求能流密度(波强)为,=7.9610-4(w/m2),36,一.波的叠加原理,17-8 波的干涉 驻波,大量的观察和研究表明:几列波可以保持各自的特点(频率、波长、振幅、振动方向等)同时通过同一媒质,好像在各自的传播过程中没有遇到其他波一样。因此,在几列波相遇或叠加的区域内,任一点的振动,为各个波单独在该点产生的振动的合成。这一规律称为波的独立传播原理或波的叠加原理。管弦乐队合奏或几个人同时讲话时,在空气中同时传播着许多声波,但我们仍能够辩别出各种乐器的音调或某个人的声音,这就是波的叠加原理
16、的具体例子。 应当指出，上述波的叠加原理并不是普遍成立的，只有当波的强度较小时(波动方程为线性的时)，它才是正确的。,37,二.波的干涉,两列波 (1)频率相同； (2)振动方向相同； (3)相差恒定；,则在空间相遇区域就会叠加出有些地方的振动始终加强，而另一些的振动始终减弱的稳定分布，这种现象称为波的干涉。,下面我们来研究加强和减弱的条件是什么。,38,设两个相干波源S1、S2的振动方程分别为 y10=A1cos( t+1) y20=A2cos( t+2),S1 p:,S2 p:,P点的合振动为 y =y1+y2,=Acos( t+),(同方向同频率谐振动的合成),从这两波源发出的波在P点相遇， 它们单独在P点引起的振动分别为,39,式中,合振动的初相为,P点的合振动为 y =y1+y2=Acos( t+),40,很显然，干涉的强弱取决于两列波的相位差：,=2k , A=A1+A2 , 加强(相干相长)， 特别是A1=A2
