中南大学随机过程第一章课件

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1、2020/8/20,胡朝明,531,上一讲内容回顾,概率空间 随机试验、样本空间、随机事件体、概率、概率空间、概率的性质,2020/8/20,胡朝明,532,本讲主要内容,概率空间 条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式与贝叶斯公式 随机变量及其分布程 随机变量、分布函数 离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度 常见的随机变量及其分布 n维随机变量 随机变量函数的分布,2020/8/20,胡朝明,533,四、条件概率,设概率空间(,F,P)，AF，BF，且P(A)0，在事件A已经发生的条件下，事件B发生的条件概率定义为：,给定概率空间(,F,P)，AF，且P(B)0，对任意

2、BF有P(B|A)对应，则条件概率P(B|A)是(,F)上的概率，记P(B|A)PA，则(,F,PA)也是一个概率空间，称为条件概率空间。,2020/8/20,胡朝明,534,五、乘法公式,设概率空间(,F,P)，如果A,BF，且P(AB)0，则下述乘法公式成立： P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|B),推广：,设概率空间(,F,P)，如果AiF，i=1,2,n且P(A1A2An)0，则下述推广的乘法公式成立： P(A1A2An) P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1),2020/8/20,胡朝明,535,六、事件的独立性,如果事件A,BF，满足

3、 P(AB)P(A)P(B)， 则称事件A与B相互独立。 如果事件A1,A2,AnF，且对任意s(2sn)和任意的1i1i2isn，有 P(Ai1Ai2Ais)P(Ai1)P(Ai2)P(Ais)， 则称事件事件A1,A2,An相互独立。,2020/8/20,胡朝明,536,六、随机事件独立性的性质,A与B相互独立A与B相互独立 A与B相互独立 A与B相互独立 A与B相互独立P(B|A)P(B) (P(A)0) P(A|B)P(A) (P(B)0) P(B|A)P(B|A) (0P(A)1) 设A1,A2,An相互独立，若将其中任意m个(1mn)事件换成它们的逆事件，则所得的n个事件仍然相互独

4、立。 设A1,A2,An相互独立，则,2020/8/20,胡朝明,537,七、全概率公式与贝叶斯公式,设事件组B1,B2,Bn两两互不相容，即BiBj (1ijn)，且，P(Bi)0，i=1, 2,n，则对任意事件A，有,全概率公式：,贝叶斯公式：,j=1,2,n。,2020/8/20,胡朝明,538,1.2 随机变量及其分布,一、随机变量 设(,F,P)为概率空间，如果定义样本空间上的一个单值实函数XX()，满足 ：X()xF -x+ 则称X()为随机变量。随机变量缩写为R.V.。,二、分布函数 设XX()是概率空间(,F,P)上的随机变量，对任意实数x，定义函数 F(x)PXx -x+ 称

5、为R.V.X的概率分布函数，简称分布函数。,2020/8/20,胡朝明,539,分布函数的性质,0F(X)1；,F(x)是单调不减函数，即对任意x1x2，有 F(x1)F(x2)； F(x)是左连续函数，即对任意x有 F(x-0)F(x)。,2020/8/20,胡朝明,5310,三、离散型随机变量及其分布律,若随机变量X至多只取可列无穷多个数值：x1,x2,xn,，令pkPXxk，它满足： (1)pk0， (2) 1， 则称X为离散型随机变量，并称 PXxkpk，k=1,2, 为X的分布律或概率分布。 离散型X.V.X的分布函数：,它是左连续单调不减的阶梯函数，在xxk处有第一类跳跃型间断点，

6、其跳跃度为pk。,2020/8/20,胡朝明,5311,离散型R.V.X的表示,分布律(函数形式)：,分布函数：,其中(x)为单位脉冲函数，(x)为单位阶跃函数，定义为：,2020/8/20,胡朝明,5312,例,设R.V.X的分布律为：,求X的分布律和分布函数。,解：,2020/8/20,胡朝明,5313,四、连续型随机变量,若存在非负可积函数f(x)，对任意实数x，使 得R.V.X的分布函数满足：,则称X为连续型随机变量，称f(x)为连续型随机变 量的概率密度函数，简称概率密度。,2020/8/20,胡朝明,5314,概率密度函数的性质,f(x)0；,2),如果一个函数f(x)具有性质1)

7、、2)，则它一定是某个R.V.X的概率密度。,在f(x)的连续点处，F(x)f(x)； 连续型R.V.X取某个值的概率为0，即 PX=x0，x(-,+)； 连续型R.V.X落在区间的概率，与区间的开、闭无关，即 PaXbPaXbPaXb PaXbF(b)F(a),故对连续型R.V.X而言，PXxPXxF(x).,2020/8/20,胡朝明,5315,例,已知R.V.X的概率密度,求：1)分布函数F(x)；2)概率PX1。,解 1),2),注 PX1也可直接由分布函数得出：,2020/8/20,胡朝明,5316,五、常见的随机变量及其分布,分布(两点分布) 如果R.V.X的分布律为：,0p1，p

8、+q=1,则称R.V.X服从分布，记为X分布或XB(0,1)。,一个随机试验仅有两种结果，A和 ，定义随机变量,P(A)p，P( )q1-p，即X分布。,2020/8/20,胡朝明,5317,2.贝努里试验、二项分布,如果随机试验E满足：将一个试验在相同条件下重复进行n次， 各次试验仅有两个结果A和 ，事件A的概率在各次试验中保持不变，P(A)p，P( )1-p； 各次试验的结果互不影响， 则称随机试验E为n次贝努里试验。,定理 在n次贝努里试验E中，事件A出现的次数X的分布律为：,如果随机变量X的分布律为,0p1，p+q=1，k=0,1,2,n，则称X服从参数为n,p的二项分布，记为XB(n

9、,p)。,2020/8/20,胡朝明,5318,3.泊松(S.D.Poisson)分布,如果R.V.X的分布律为,则称R.V.X服从参数为的泊松分布，记为X()。,泊松分布在理论和应用上都很重要，例如，在单位时间内，某电话交换台接到的电话呼叫次数；到达某服务台的顾客数；某放射源放射的粒子数；某自动控制系统损坏的元件个数；等等，都服从泊松分布。,2020/8/20,胡朝明,5319,4.均匀分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b)，X的分布函数为,2020/8/20,胡朝明,5320,5.(负)指数分布(寿命分布),如果R.V.X的概率密

10、度为,则称R.V.X服从参数为的（负）指数分布(寿命分布)，X的分布函数为,2020/8/20,胡朝明,5321,6.正态分布(高斯分布),如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从参数为和2的正态分布(高斯分布)，记为XN(,2)，X的分布函数为,特别地，=0,2=1时的正态分布称为标准正态分布，记为R.V.XN(0,1)，其概率密度和分布函数特别记为：,2020/8/20,胡朝明,5322,7.-分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从参数为,的-分布，记为X(,)。,这里，-函数定义为,可证得,(+1)()，(n+1)n!，(1)1。,2020/8/20,胡朝明,5323

11、,8.2-分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从自由度为n的2-分布，记为X2(n)，显然，,2020/8/20,胡朝明,5324,9.k阶爱尔朗(Erlang)分布,如果R.V.X的概率密度为,则称R.V.X服从参数为（0）的k阶爱尔朗分布，记为XEk，其分布函数为,2020/8/20,胡朝明,5325,六、二维随机变量,如果X和Y是定义在同一概率空间(,F,P)上的两个随机变量，则称(X,Y)为二维随机变量，记为二维R.V.(X,Y)。,设(X,Y)是二维随机变量，定义函数 F(x,y)PXx,Yy， -x+，-y+ 为R.V.(X,Y)的二维联合分布函数。,2020/8/2

12、0,胡朝明,5326,二维联合分布的性质,0F(x,y)1；F(+,+)1； F(-,y)F(x,-)F(-,-)0； F(x,y)对每个变量都是单调不减函数； F(x,y)对每个变量都是左连续函数； 对任意x1x2，y1y2，有 F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0。,2020/8/20,胡朝明,5327,离散型二维随机变量,如果二维若随机变量(X,Y)至多只取可列无穷多对数值(xi,yj)，i,j=1,2,，令pijPXxi,Yyj，它满足： (1) pij0， (2) 1， 则称(X,Y)为离散型二维随机变量。 称 pijPXxi,Yyj，i,j=1,2,

13、为(X,Y)的联合分布律。称,为(X,Y)的联合分布函数。,2020/8/20,胡朝明,5328,边缘分布律、条件分布律,为R.V.X的边缘分布律。称,为R.V.Y的边缘分布律。称,为在已知Y=yj的条件下，R.V.X的条件分布律。称,为在已知X=xi的条件下，R.V.Y的条件分布律。,如果pijpi.p.j，i,j=1,2,，则称R.V.X与Y相互独立,称,2020/8/20,胡朝明,5329,例,袋中有3个白球和2个红球。分别a)不放回、b)有放回地逐一摸球，共摸两次，分别用X和Y表示第一次、第二次摸到的红球数。试分a)、b)两种情形，求(X,Y)的联合分布率、联合分布函数、边缘分布律、条

14、件分布律，并讨论X与Y是否独立。,解： a)不放回摸球。 (X,Y)的联合分布律、 边缘分布律,因pijpi.p.j， X与Y不相互独立,2020/8/20,胡朝明,5330,例(续),(X,Y)的联合分布函数，,条件分布律,2020/8/20,胡朝明,5331,例(续),b)有放回摸球。 (X,Y)的联合分布率、 边缘分布率,(X,Y)的联合分布函数,因pijpi.p.j(i,j=0,1)， X与Y相互独立,2020/8/20,胡朝明,5332,连续型二维随机变量,若存在非负可积函数f(x,y)，使得二维R.V.(X,Y)的联合分布函数满足：,则称(X,Y)为连续型二维随机变量，并称f(x,

15、y)为连续型二维随机变量的联合概率密度函数，简称联合概率密度。,2020/8/20,胡朝明,5333,联合概率密度的性质,1）f(x,y)0；,如果一个函数f(x,y)具有性质1)、2)，则它一定是某个二维R.V.(X,Y)的概率密度。,3）在f(x,y)的连续点(x,y)处，有,4）,2）,2020/8/20,胡朝明,5334,边缘分布函数,设二维R.V.(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)， FX(x)F(x,+)，-x+ 称为R.V.X的边缘分布函数。 FY(y)F(+,y)，-y+ 称为R.V.Y的边缘分布函数。,设二维R.V.(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)， ，-x+ 称为

16、R.V.X的边缘概率密度函数。 ，-y+ 称为R.V.Y的边缘概率密度函数。,2020/8/20,胡朝明,5335,条件概率密度与条件分布函数,fY|X(y|x)f(x,y)fX(x)，-x+,-y+ 称为已知X=x的条件下，R.V.Y的条件概率密度。 fX|Y(x|y)f(x,y)fY(y)，-x+,-y+ 称为已知Y=y的条件下，R.V.X的条件概率密度。,称为已知X=x的条件下，R.V.Y的条件分布函数。,称为已知Y=y的条件下，R.V.X的条件分布函数。,2020/8/20,胡朝明,5336,相互独立,如果二维R.V.(X,Y)对任意的x,y有 PXx,YyPXxPYy -x+，-y+ 等价地有 F(x,y)FX(x)FY(y) -x+，-y+ 则称R.V.X与Y相互独立。,显然，对连续型二维R.V.(X,Y)，X与Y独立的 充分必要条件是对连续点有 f(x,y)fX(x)fY(y) -x+，-y+,2020/8