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1、数 列 应 用,退出,进入,专题讲座,高一复习,储 蓄,分期付款,退出,返回,储蓄与人们的日常生活密切相关,它对支援国家建设、安排好个人与家庭生活具有积极意义。计算储蓄所得利息的基本公式是：,利息=本金存期利率,根据国家规定,个人储蓄存款利息应依法纳税,计算公式为：,应纳税额=利息全额税率,其中的税率为20%.个人储蓄实际所得为：,本金+利息应纳税额,分期付款问题,在日常生活中,一些商店为了促销,便于顾客购买一些售价较高的商品,在付款上较为灵活,可以一次性付款,也可以分期付款,分期付款中又有几种付款方案供选择,如下表所例：,整存整取定期储蓄,这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金及其利
2、息的一种储蓄。中国人民银行在某段时间内规定的这种储蓄的年利率如下.,返回,例1、某人按整存整取定期储蓄方式存入银行5000元，存期 5 年。到期后可取出多少元?,解：5年到期时所得利息为,500052.88% =,820 (元),应纳税,820 20% =,164 (元),5656 (元),5000+820164 =,实际取出,看看公式,看看利率,返回,活期储蓄,这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计算利息时，每年按360天，每月按30天计算存期。,例2、某人今年十月一日存入银行500元，活期储蓄到年底。日利率为0.00275%，到期后可取出多少元?,解：由于存期是3个月共90天，到期利息
3、是,500900.00275% =,1.2375 (元),应纳税,1.2375 20% =,0.2475 (元),到期后可取出,500+1.23750.2475 =,500.99 (元),返回,分期储蓄,这是指一种分期存入一次取出的储蓄方式。,例3、某人从一月起，每月第一天存入银行100元，到12月最后一天取出全部本金及其利息。已知月利率是0.165%，他可取得多少钱?,研究,答案,储蓄利率常识 储蓄利率常有定期利率和活期利率 定期利率又有年利率和月利率 年利率又依各年期长短各有不同 活期利率也即是日利率 储蓄利率不是固定不变的，它会因遇到利率调整而有所变化。 储户要随时注意利率调整情况。,一
4、般地,设每期期初存入银行金额A,连存 n 次,每期的利率都是 p , 那么到第 n 期期末,本金共有：,_,nA,由于每期利息 = 本金期数利率,那么各期的利息是,n,n1,2 1,Apn,Ap(n1),Ap2,Ap1,成等差数列,一般地,设每期期初存入银行金额A,连存 n 次,每期的利率都是 p , 那么到第 n 期期末,本金共有：,_,nA,全部利息是 ：,Sn = Ap + Ap2 + + Ap(n1) + Apn = =,Ap(1 + 2 + + n ),n(n1)Ap,一般地,设每期期初存入银行金额A,连存 n 次,每期的利率都是 p , 那么到第 n 期期末,本金共有：,_,nA,
5、全部利息是 ：,Sn =,n(n1)Ap,_,应纳税 ：,n(n1)Ap20% =,n(n1)Ap,_,实际取出 ：,nA +,n(n1)Ap,n(n1)Ap,= A n + n(n + 1) p,_,即用分期储蓄方式存款,期满后实际取出公式为,当 A=,n=,p=,1210.30 （元）,实际取出 ：,100,12,0.165% 时,100(12 + 0.412130.165% ),=,_,an= A n +0.4n(n + 1) p,复利储蓄,复利是计算利息的一种方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。 我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复利计息的储蓄。 各期
6、期利率如下表：( 期利率=期数年利率 ),例4、某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存款方式?,分析一般：设本金为a元，相应的期利率为p，到期本利和为y，存期为n,1期后本利和是：,2期后本利和是：,3期后本利和是：,n期后本利和是：,y1= a + ap = a(1 + p),y2= a(1 + p) + a(1 + p) p,y3= a(1 + p)3,yn = a(1 + p)n,= a(1 + p)2,例4、某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存款方式?,全部利息是： a(1 + p)n
7、 a,yn = a(1 + p)n,解：设本金为a元,相应的期利率为p,到期本利和为y,存期为n, n期后本利和是：,应纳税： a(1 + p)n a 20%,实际取出： a(1 + p)n a(1 + p)n a 20%,= 0.8a(1 + p)n + 0.2 a,例4、某人欲存入银行1500元，准备15年后取出。为使15年后取出的钱最多，他应采用何种定期存款方式?,看看利率,计算公式 ： an = 0.8a(1 + p)n + 0.2a,据上表可知，采用5年定期的存款方式最合算,1975.45,2071.37,2096.63,1992.36,思考1：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银
8、行100元，连存15年后取出。问：他能取出多少钱? (设1年定期年利率是2.25%),第1次存入到期后本利和是：,第2次存入到期后本利和是：,第3次存入到期后本利和是：,第15次存入到期后本利和是：,100(1+2.25%)1,100(1+2.25%)13,100(1+2.25%)14,100(1+2.25%)15,15年后本利和总共是：,成等比数列,应纳税：,实际取出：,1001.0225(1.0225151) 0.0225,= 1800.54（元）,(1800.5410015) 20% = 60.11（元）,1800.5460.11 = 1740.43（元）,思考2：某人采用一年定期存款方
9、式每年年初存入银行等额钱数，使连存15年后能取出10万元现金。问：他每年至少应存进银行多少钱?(年利率2.25%) 思考3：某人在某银行每年年初去存入6000元钱，计划若干年后从银行能取出现金12万元钱。问：他至少要连存多少年?,思考2答案 每年至少要存进 5746元,思考2：某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行等额钱数，使连存15年后能取出10万元现金。问：他每年至少应存进银行多少钱?(年利率2.25%) 思考3：某人在某银行每年年初去存入6000元钱，计划若干年后从银行能取出现金12万元钱。问：他至少要连存多少年?,思考3答案 至少要连存17年,退出,返回,顾客先不付款将5000元的商
10、品买走,也就是先欠了商家5000元款,以后的分期付款也就是还款,故应有：,所还款+利息 = 欠款+利息,设顾客以后每期等额还款X元,采用方案1付款是,还款带利息共有,1 2 3 5 6 7 9 10 11,4,8,12,X,X,X,还款,X(1+0.8%),X(1+0.8%)2,X(1+0.8%)3,X(1+0.8%)4,X(1+0.8%),X(1+0.8%)8,X(1+0.8%)8,生息,X(1+0.8%)4,X,+,+,顾客先不付款将5000元的商品买走,也就是先欠了商家5000元款,以后的分期付款也就是还款,故应有：,所还款+利息 = 欠款+利息,设顾客以后每期等额还款X元,采用方案1付
11、款是,还款带利息共有,1 2 3 5 6 7 9 10 11,4,8,12,X,X,X,还款,X(1+0.8%),X(1+0.8%)2,X(1+0.8%)3,X(1+0.8%)4,X(1+0.8%),X(1+0.8%)8,X(1+0.8%)8,生息,X(1+0.8%)4,X,5000(1+0.8%)12,+,+,故有方程 X(1+0.8%)8 + X(1+0.8%)4 + X = 5000(1+0.8)12 解方程得: X = 即每次付款 元 , 3次共付款 元 类似采用方案2付款有方程 X(1+0.8%)10+X(1+0.8%)8+X(1+0.8%)2+X=5000(1+0.8%)12 解得
12、X= 6次共付款 元 用方案3付款时,有类似形的方程,可得到每次付款额是 438.6元 , 12次共付款 5263 元.,1775.8,1775.8,5327,880.8,5285,建设银行开办有住房贷款业务，年利率是10%，按复利计息。青年教师王某从银行贷款购得一套10万元的住房，首付房款2万元，余下房款5年内付清。小王计划每年年底等额还钱，那么他每次需准备多少钱?若他每年年初还钱需准备多少钱?(结果保留到个位),练一练,练一练,练一练,练一练,练一练,练一练,练一练,练一练,练一练,练一练,每年底要还21104元,每年初要还19186元,分期付款或贷款定期还款与复利储蓄的计算有着相同之处,这就是： 复利储蓄在计算本利和时,与分期付款是结构一样的运算式,即,或,年头付款,年尾付款,其中 r = 1+p,这都要用到数列的知识来解决问题,制 作 杨 光 军 新疆石河子一四三团花园高级中学 E 2002.12.22,
