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1、14.2.1 平方差公式,多项式与多项式是如何相乘的?,(x 3)( x5),=x2,5x,3x,15,=x2,8x,15.,(a+b)(m+n),=am,+an,+bm,+bn,知识回顾,面积变了吗?,相等吗?,平方差公式,新知探究,(x 1)( x1); (m 2)( m2); (2m 1)(2m1); (5y z)(5yz).,计算下列多项式的积,你能发现什么规律?,算一算:看谁算得又快又准.,新知探究,(m 2)( m2)=m2 22,(2m 1)( 2m1)=4m2 12,(5y z)(5yz)= 25y2 z2,(x 1)( x1)=x2 1,,想一想:这些计算结果有什么特点?,x
2、2 12,m222,(2m)2 12,(5y)2 z2,新知探究,(a+b)(ab)=,a2b2,两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.,公式变形:,1.(a b ) ( a + b) = a2 b2,2.(b + a )(b + a ) = a2 b2,平方差公式,知识要点,平方差公式,注:这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等,(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2,适当交换,合理加括号,新知探究,(1+x)(1-x),(-3+a)(-3-a),(0.3x-1)(1+0.3x),(1+a)(-1+a),填一填:,a,b,a2-b2,1,x,-3,a,12-x2,(-3)2-a
3、2,a,1,a2-12,0.3x,1,( 0.3x)2-12,(a-b)(a+b),新知探究,练一练:口答下列各题: (l)(-a+b)(a+b)=_. (2)(a-b)(b+a)= _. (3)(-a-b)(-a+b)= _. (4)(a-b)(-a-b)= _.,a2-b2,a2-b2,b2-a2,b2-a2,新知探究,例1 计算:(1) (3x2 )( 3x2 ) ; (2)(-x+2y)(-x-2y).,(2)原式 (-x)2 - (2y)2,x2 - 4y2.,解:(1)原式=(3x)222,=9x24;,典例解析,方法总结:应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题: (1)左边是两
4、个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数; (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方; (3)公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式,典例解析,利用平方差公式计算: (1)(3x5)(3x5); (2)(2ab)(b2a); (3)(7m8n)(8n7m),针对训练,解:(1)原式=(3x)2529x225;,(2)原式=(2a)2b24a2b2;,(3)原式=(7m)2(8n)249m264n2;,典例解析,例2 计算: (1) 10298; (2) (y+2) (y-2) (y-1) (y+5) .,解:(1) 10298,(2)(y+2)(y-2)-
5、(y-1)(y+5),= 1002-22,=10000 4,=(1002)(1002),=9996;,= y2-22-(y2+4y-5),= y2-4-y2-4y+5,= - 4y + 1.,典例解析,针对训练,计算:(1) 5149; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .,解: (1) 原式=(501)(501),= 502-12,=2500 1,=2499;,(2) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6),= 9x2-16-6x2-5x+6,= 3x2-5x-10.,典例解析,例3 先化简,再求值:(2xy)(y2x)(2yx)(2yx),其中x1,y2.,原
6、式51252215.,解:原式4x2y2(4y2x2),4x2y24y2x2,5x25y2.,当x1,y2时,,典例解析,例4 对于任意的正整数n,整式(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值一定是10的整数倍吗?,即(3n1)(3n1)(3n)(3n)的值是10的倍数,解:原式9n21(9n2),10n210.,(10n210)10=n2-1.,n为正整数,,n2-1为整数,典例解析,方法总结:对于平方差中的a和b可以是具体的数,也可以是单项式或多项式,在探究整除性或倍数问题时,一般先将代数式化为最简,然后根据结果的特征,判断其是否具有整除性或倍数关系,典例解析,例5 王大伯家把一块边长为a
7、米的正方形土地租给了邻居李大妈今年王大伯对李大妈说:“我把这块地一边减少4米,另外一边增加4米,继续租给你,你看如何?”李大妈一听,就答应了你认为李大妈吃亏了吗?为什么?,a2a216,,解:李大妈吃亏了,理由:原正方形的面积为a2,,改变边长后面积为(a4)(a4)a216,,李大妈吃亏了,典例解析,方法总结:解决实际问题的关键是根据题意列出算式,然后根据公式化简算式,解决问题,典例解析,1.下列运算中,可用平方差公式计算的是() A(xy)(xy) B(xy)(xy) C(xy)(yx) D(xy)(xy),C,2.计算(2x+1)(2x-1)等于() A4x2-1 B2x2-1 C4x-
8、1 D4x2+1,A,3.两个正方形的边长之和为5,边长之差为2,那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积,差是_,10,当堂练习,(1)(a+3b)(a- 3b);,=4a29;,=4x4y2.,原式=(2a+3)(2a-3),=a29b2 ;,=(2a)232,原式=(-2x2 )2y2,原式=(a)2(3b)2,(2)(3+2a)(3+2a);,(3)(2x2y)(2x2+y).,4.利用平方差公式计算:,当堂练习,5.计算: 20152 20142016.,解:,20152 20142016,= 20152 (20151)(2015+1),= 20152, (2015212 ),
9、= 20152, 20152+12,= 1,当堂练习,6.利用平方差公式计算:,(1)(a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4) =a4-16.,(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).,解:原式=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4),=(x4-y4)(x4+y4),= x8-y8.,当堂练习,7.先化简,再求值:(x1)(x1)x2(1x)x3,其中x2.,解:原式=x21x2x3x3,=2x21.,将x2代入上式,,原式=222-1=7.,当堂练习,探索拓展,已知x1,计算: (1x)(1x)1x2, (1x)(1xx2)1x3, (1
10、x)(1xx2x3)1x4 (1)观察以上各式并猜想:(1x)(1xx2xn)_;(n为正整数),1xn+1,(2)根据你的猜想计算: (12)(1222232425)_; 222232n_(n为正整数); (x1)(x99x98x97x2x1)_;,-63,2n12,x1001,(3)通过以上规律请你进行下面的探索: (ab)(ab)_; (ab)(a2abb2)_; (ab)(a3a2bab2b3)_,a2b2,a3b3,a4b4,探索拓展,今天我们学了什么?,今天我们悟到什么?,今天的质疑和发现?,梳理反思,今天我们学了什么?,今天我们悟到什么?,平方差公式,平方差公式,内容,注意,两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差,1.符号表示:(a+b)(a-b)=a2-b2,2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征,在应用时,只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式;对于不能直接应用公式的,可能要经过变形才可以应用,课堂小结,