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1、,常系数非齐次线性微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九节,一、,二、,第十二章,二阶常系数线性非齐次微分方程 :,根据解的结构定理 , 其通解为,求特解的方法,根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 ., 待定系数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、, 为实数 ,设特解为,其中 为待定多项式 ,代入原方程 , 得,(1) 若 不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式 .,Q (x) 为 m 次待定系数多项式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,的一个特解.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根
2、 .,设所求特解为,代入方程 :,比较系数, 得,于是所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,的通解.,解: 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求解定解问题,解: 本题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是所求解为,解得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f (x) 转化为,第三
3、步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一步,利用欧拉公式将 f (x) 变形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),故,等式两边取共轭 :,为方程 的特解 .,设,则 有,特解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :,原方程,均为 m 次多项式 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第四步 分析,因,均为 m 次实,多项式 .,本质上为实函数 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
4、小 结:,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,的一个特解 .,解: 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数 , 得,于是求得一个特解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数, 得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根 ,因此设非齐次方程特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结, 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,则设特解为,为特征方程的 k (0, 1 )重根,则设特解为,3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P347 1 (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ;,习题课2 目录 上页 下页 返回 结束,
