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1、分离变量,两边求不定积分:,若,=,则称(1)为可分离变量的方程,(1),(2),一般得隐式通解,若容易显化则显化，得显式通解.,7.2 可分离变量的微分方程,1.定义,2.解法:,简单复习7.2 与7.3,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再还原,便得原方程的通解.,2.解法:,分离变量:,7.3 齐次方程,1.定义,若,令,可化为可分离变量的,形如,的方程,的方程,形如,原方程为上述类型,当,时,令,(b0),1).,2).,当,时,有惟一解(x,y)=(h,k),通过变量代换化非标准类型为已知类型方程是常用的方法,如P315第7题,令,令,形如,令,均
2、可化为可分离变量的.,令,可分离,可分离,可分离,令,即,令,可分离变量,可分离变量,7.4 一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,第七章,一、一阶线性微分方程,形如:,若 Q(x) 0,称为一阶线性非齐次方程 .,2. 解一阶线性齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为一阶线性齐次方程 ;,1.定义,的方程称为一阶线性方程.,(可分离变量),(已不含积分常数),注:此式含分离变量时丢失的解 y = 0 及y0时的解.,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,3. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,注：1.记住此公式,
3、2.不含积分常数,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,得,用常数变易法. 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,例1. 解方程,另解:,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,例2. 有一电路如图所示,电阻 R 和电,解: 列方程 .,已知经过电阻 R 的电压下降R i,经过电感线圈 L的电压下降,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感 L 都是常量,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,因此所求电流函数为,例2 (P310第3题),解:,又,所以,则曲线方程为:,x,y,A(1,1),P,面积为x2,o,求弧OA的方程.,(,设方程
4、为,据题意,求导得:,即,(0x1),(0 x1),0,(在x=0处是连续的),例3 解方程,解法1 :,原方程变形为,(一阶线性微分方程),解法2 :,令,原方程变形为,分离变量得:,例3 解方程,解法2 :,令,原方程变形为,分离变量得:,两边积分得:,化简得:,还原得:,二、伯努利方程,1.定义,令,求出此方程通解后,方程两边同除以 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,2.解法:,(线性方程),的方程称为伯努利方程.,形如,例4. 求方程,的通解.,解: 令,则方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,内容小结,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.
5、,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,(提倡用此法),思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,形如,令,化为可分离,?,P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; 8 (5),作业,1. 连续函数,满足下列方程:,解:,令,又,求,则,两边求导得,(一阶线性非齐次),通解,=,0,所以C=1,则,再讲几个例子,注:,2 (P354 题6) 已知某车间的容积为,的新鲜空气,问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空,的含量不超过 0.06 % ?,解: 设每分钟应输入,t 时刻车间空气中含,则在,内车间内,两端除以,并令,与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ),得微分方程,( 假定输入的新鲜空气,输入 ,的改变量为,t = 30 时,解初值问题,因此每分钟应至少输入 250,新鲜空气 .,初始条件,得,k = ?,3. 求方程,的通解.,解:,方程变形为,其通解为,将,代入, 得原方程通解:,令,(伯努利方程),| |,| |,| |,3. 求方程,的通解.,另解:,方程变形为,即,所以原方程通解:,两边同除于x2得,即,| |,| |,| |,上述解法就是,下次课(12.5全微分方程)我们要讲的解法.,
