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1、, 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第十讲 函数极限存在准则、 两个重要极限,第三章 函数的极限与连续性,本章学习要求： 了解函数极限的概念，知道运用“”和 “X ”语言描 述函数的极限。 理解极限与左右极限的关系。熟练掌握极限的四则运算法则 以及运用左右极限计算分段函数在分段点处的极限。 理解无穷小量的定义。理解函数极限与无穷小量间的关系。 掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。
2、了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。 理解幂级数的基本概念。掌握幂级数的收敛判别法。,第四、五节 极限存在准则、 两个重要极限,第三章 函数的极限与连续性,二.夹逼定理,一.单调收敛准则,三.两个重要极限,五.柯西准则,四. 函数极限与数列极限的关系,看懂后, 用精确地语言描述它.,二.夹逼定理,函数极限的夹逼定理,定理,证,解,夹逼定理,二.重要极限,首先看看在计算机上,进行的数值计算结果：,运用夹逼定理, 关键在于建立不等式.,x,O,1,D,B,A,x,y,从图中可看出:,证,由sin x 与cos x 的奇偶性可知：,一般地,其中, a
3、 0 为常数.,求,解,求,解,x a 时, (x) = x a 0 ,求,故,解,解,求,求,故,解,(2),求 (1),请自己动手做一下,(1),解,(2),解,由三角函数公式,求,解,故 原式,2. 重要极限,特别重要啊！,变量代换,如果可行, 则可以利用极限运算性质,得到所需的结论吗？,第一步：证明,因为 x +, 故不妨设 x 0.,由实数知识, 总可取 n N, 使 n x n+1,故,我们作变量代换, 将它归为 x + 的,情形即可.,想想, 作一个什么样的代换？,第二步：证明,由,第三步：证明,现在证明,令,t ,则 x 0时,故,于是有,证,综上所述, 得到以下公式,一般地,其中, k 0 为常数.,求,解,求,解,( 即 k = 2 的情形),求,解,( 1 ),求,解,解,此题的另一解法：,求,解,又,故,常用的方法,解,首先平方,解,你想怎么做?,解,Df 为函数 f ( x ) 的定义域.,其中, 极限值 a 可为有限数或为 ；,四. 函数极限与数列极限的关系,定理,该定理说明：,必要性：,即有,充分性：,反证法,下面怎么做？,充分性：,反证法,证,五.柯西(Cauchy)准则,定理1 ( 柯西收敛准则 ),必要性：,充分性：,剩下的工作请看书！,定理2 ( 柯西收敛准则 ),请自己证明.,
