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1、矩阵分析,主讲教师：魏丰,第七章 函数矩阵与矩阵微分方程 函数矩阵 定义： 以实变量 的函数为元素的矩阵,称为函数矩阵，其中所有的元素 都是定义在闭区间 上的实函数。 函数矩阵与数字矩阵一样也有加法，数乘，乘法，转置等几种运算，并且运算法则完全相同。 例：已知,称 是 的逆矩阵，一般记为 例 ：已知 ，那么 在区间 上是可逆的，其逆为,函数矩阵可逆的充分必要条件 定理 : 阶矩阵 在区间 上可逆的充分必要条件是 在 上处处不为零，并且 ，其中 为矩阵 的伴随矩阵。 定义：区间 上的 型矩阵函数不恒等于零的子式的最高阶数称为 的秩。,特别地，设 为区间 上的 阶矩阵函数，如果 的秩为 ，则称 一
2、个满秩矩阵。 注意：对于阶矩阵函数而言，满秩与可逆不是等价的。即：可逆的一定是满秩的，但是满秩的却不一定是可逆的。 例 ：已知,那么 。于是 在任何区间 上的秩都是2。即 是满秩的。但是 在 上是否可逆，完全依赖于 的取值。当区间 包含有原点时， 在 上有零点，从而 是不可逆的 。 函数矩阵对纯量的导数和积分 定义：如果 的所有各元素 在 处有极限，即,其中 为固定常数。则称 在 处有极限，且记为 其中,如果 的各元素 在 处连续，即 则称 在 处连续，且记为 其中,容易验证下面的等式是成立的： 设 则,定义：如果 的所有各元素 在点 处(或在区间 上)可导，便称此函数矩阵 在点 处(或在区间
3、 上)可导，并且记为,函数矩阵的导数运算有下列性质： 是常数矩阵的充分必要条件是 设 均可导，则,设 是 的纯量函数， 是函数矩 阵， 与 均可导，则 特别地，当 是常数 时有,(4) 设 均可导，且 与 是可乘的，则 因为矩阵没有交换律，所以,(5) 如果 与 均可导，则 (6) 设 为矩阵函数， 是 的纯量函数， 与 均可导，则,定义： 如果函数矩阵 的所有各元素 在 上可积，则称 在 上可积，且,函数矩阵的定积分具有如下性质： 例 1 ：已知函数矩阵 试计算,证明：,由于 ，所以 下面求 。由伴随矩阵公式可得,再求,例 2 ：已知函数矩阵,试求,例 3 ：已知函数矩阵 试求 证明：,同样
4、可以求得,例 4 ：已知函数矩阵 试计算,函数向量的线性相关性 定义：设有定义在区间 上的 个连续的函数向量 如果存在一组不全为零的常实数 使得对于所有的 等式 成立，我们称，在 上,线性相关。,否则就说 线性无关。即如果只有在 等式才成立，那么就说 线性无关。 定义：设 是 个定义在区间 上的连续函数向量 记,以 为元素的常数矩阵 称为 的Gram矩阵， 称为Gram行列式。 定理：定义在区间 上的连续函数向量 线性无关的充要条件是它的Gram矩阵为满秩矩阵。,例 ： 设 则 于是 的Gram矩阵为,所以 故当 时， 在 上是线性无关的。,定义： 设 是 个定义在区间 上的 有 阶导数的函数
5、向量，记 那么称矩阵,是 的Wronski矩阵。,其中 分别是 的一阶，二阶， 阶导数矩阵。 定理： 设 是 的Wronski矩阵。如果在区间 上的某个点 ，常数矩阵 的秩等于 ，则向量 在 上线性无关。,例 ： 设 则 因为 的秩为2，所以 与 线性无关。,函数矩阵在微分方程中的应用 形如,的线性微分方程组在引进函数矩阵与函数向量以后可以表示成如下形式 其中,上述方程组的初始条件为 可以表示成 定理：设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组 满足初始条件 的解为,定理：设 是一个 阶常数矩阵，则微分方程组 满足初始条件 的解为 例 1 ：设,求微分方程组 满足初始条 件 的解。 解：首先计算出矩
6、阵函数,由前面的定理可知微分方程组 满足初始条件 的解为,例 2 ：设,求微分方程组 满足初始 条件 的解。 解：由上述定理可知满足所给初始条件的微分方程组解为,由上面的例题可知 而,所以有,故有,第八章 广义逆矩阵 定理：设 是数域 上一个 矩阵，则矩阵方程 总是有解。如果 ，并且 其中 与 分别是 阶、 阶可逆矩阵，则矩阵方程(1)的一般解(通解)为,(1),(2),其中 分别是任意 矩阵。 证明：把形如(3)的矩阵以及(2)式代入矩阵方程(1)，得到：,(3),所以形如(3)的每一个矩阵都是矩阵方程(1)的解。 为了说明(3)是矩阵方程(1)的通解，现在任取(1)的一个解 ，则由(1)和
7、(2)得 因为 可逆，所以从上式得,(4),把矩阵 分块，设 代入(4)式得 即,(5),由此得出， ，代入(5)式便得出 这证明了矩阵方程(1)得任意一个解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩阵方程(1)的通解。 定义：设 是一个 矩阵，矩阵方程 的通解称为 的广义逆矩阵，简称为 的广义逆。我们用记号 表示 的一个广义逆。,定理(非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 证明：必要性。设 有解 ，则 。因为 ，所以 充分性。设 ，则取 得 所以 是 的解。,定理(非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐次线性方程组 有解，则它的一般解(通解）为 其中 是 的
8、任意一个广义逆。 证明：任取 的一个广义逆 ，我们来证 是方程组 的解： 已知 有解，根据前一个定理得： 这表明 是 的一个解。,反之，对于 的任意一个解 ，我们要证存在 的一个广义逆 ，使得 。设 是 矩阵，它的秩为 ，且,其中 与 分别是 阶、 阶可逆矩阵。由于 的广义逆具有形式(3)，因此我们要找矩阵 ，使,即 先分析 与 之间的关系。由已知 ，因此我们有 分别把 分块，设,(6),则(6)式成为 所以 ，因为 ，所以 ，从而 。设 ，且设 。 取,则 于是 从而只要取 则,定理(齐次线性方程组解的结构定理)：数域 上 元齐次线性方程组 的通解为 其中 是 的任意给定的一个广义逆， 取遍
9、 中任意列向量。 证明：任取 ，我们有 所以 是方程组 的解。,反之，设 是方程组 的解，要证存在 ，使得 。取 我们有 所以 是方程组 的通解。 利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。,推论：设数域 是 元非齐次线性方程组 有解，则它的通解为 其中 是 的任意给定的一个广义逆， 取遍 中任意列向量。 证明：我们已经知道 是非齐次线性方程组 的一个解，又知道 是导出组 的通解，所以 是 的通解。,伪逆矩阵 定义：设 ，若 ，且同时有 则称 是 的伪逆矩阵。上述条件称为Moore Penrose 方程。 例： 设 ，那么,设 ，那么 设 ，其中 是可逆矩阵，则 如果 是一个可
10、逆矩阵，那么,下面我们讨论伪逆矩阵的求法 定理：设 是 的一个满秩分解，则 是 的伪逆矩阵。 例 1 ：设 求 。 解：利用满秩分解公式可得,从而 的伪逆矩阵是,例 2 ：设 求 。 解：由满秩分解公式可得 于是其伪逆矩阵为,推论：若 ，则 若 ，则 定理：伪逆矩阵 唯一。 证明：设 都是 的伪逆矩阵，则,根据此定理知，若 ，则 。,定理：设 ，则 证明：容易验证(1)，(2)，现在只证(3)。 设 是 的满秩分解，则 的满秩分解可以写成,其中 是列满秩， 为行满秩，故由式 得 因此 同理可证：,例：设 ，则 是正定或半正定Hermite矩阵，故存在 ，使得 证明 解：因为,不妨设,则,其中 故 于是,令 由 ，知,因此由 得 例：已知 求 。 解： 的特征值 的特征向量为,的特征向量为 故,代入 得：,练习 1 ：已知 求其奇异值分解与 。 练习 2 ：设,求 。 答案： （1）奇异值分解式为,（2）其伪逆矩阵为,不相容线性方程组 的解 定义：设 ， ，如果 维向量 对于任何一个 维向量 ，都有 则称 是方程组 的一个最小二乘解。 若 是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘解 都有不等式 则称 是最佳最小二乘解。,定理：设 ，则 是方程组 的最佳最小二乘解。 例 1 ：求不相容方程组 的最佳最小二乘解。,例 2 ：求不相容方程组 的最佳最小二乘解。,
