《高中数学人教A选修11配套课件2221双曲线的简单几何性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A选修11配套课件2221双曲线的简单几何性质（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时双曲线的简单几何性质,主题双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线 观察图示,探究下面问题.,(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么它是否与椭圆一样有范围限制? 提示:有限制,因为 1,即x2a2,所以xa,或x-a.,(2)观察双曲线图形,它是否是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是否是中心对称图形?对称中心是哪个点? 提示:关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.,(3)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点,这种说法对吗?为什么? 提示:不对,双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点,只
2、有在标准形式下,坐标轴才是双曲线的对称轴,此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.,结论:,F1(-c,0),F2(c,0),F1(0,-c),F2(0,c),|F1F2|=2c,x-a,xa,y-a,ya,坐标轴,原点,A1(-a,0),A2(a,0),A1(0,-a),A2(0,a),A1A2,2a,B1B2,2b,a,b,(1,+),【微思考】 1.能不能用a,b表示双曲线的离心率? 提示:能.e= .,2.双曲线的离心率的大小如何决定双曲线的开口大小? 提示:由于e= ,所以 ,因此离心率 的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线 的开口大小.离心率越大,双曲线开口越开阔;离心率
3、 越小,双曲线开口越扁狭.,3.从离心率e= 直观上看,随着a与c的变化双曲线的形状如何变化? 提示:当 趋于1时,双曲线的开口非常小,此时双曲线的形状接近两条以顶点为端点的射线; 当 趋于无穷大时,双曲线的开口非常大,此时双曲线的形状接近两条过顶点垂直于实轴的直线.,【预习自测】 1.双曲线 的渐近线方程是() 【解析】选C.a2=4,b2=9,焦点在x轴上, 所以渐近线方程为,2.双曲线 的离心率为() A.2 B.2 C.3 D.4,【解析】选B.因为a2=2,所以a= . 又b2=14,所以c2=a2+b2=16.所以c=4.所以e=,【备选训练】中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的
4、双曲线的标准方程是(),【解析】选B.考虑焦点在x轴和y轴两种情况.,3.双曲线 的实轴长是_、虚轴长是_、顶点坐标是_、焦点坐标是_.,【解析】由题意知a2=3,b2=4, 所以c2=a2+b2=3+4=7, 解得a= ,b=2,c= . 因此,双曲线的实轴长2a=2 ,虚轴长2b=4. 顶点坐标为(- ,0),( ,0), 焦点坐标为(- ,0),( ,0).,答案:,4.椭圆 与双曲线 有相同的焦点,则a的值是_. 【解析】因为a0,所以焦点在x轴上,所以4-a=a+2,所以a=1.,答案:1,5.求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,并
5、作出草图.,【解析】将9y2-4x2=-36变形为 , 即 ,所以a=3,b=2,c= , 因此顶点为A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标F1(- ,0),F2( ,0), 实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4, 离心率,渐近线方程y= x= x.作草图如图所示.,类型一根据双曲线方程研究几何性质 【典例1】求双曲线nx2-my2=mn(m0,n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.,【解题指南】,【解析】把方程nx2-my2=mn(m0,n0)化为标准方程 (m0,n0), 由此可知,实半轴长a= ,虚半轴长b= ,c= , 焦点坐标( ,0),(- ,0)
6、, 离心率,顶点坐标为(- ,0),( ,0). 所以渐近线的方程为,【延伸探究】将本例双曲线方程改为“4x2-y2=-4”,试求解之. 【解析】将方程4x2-y2=-4变形为 所以a=2,b=1,c= .所以实半轴长为2,虚半轴长为1,焦点坐标为(0,- ),(0, ).离心率 ,顶点坐标为(0,-2),(0,2).渐近线方程为y=2x.,【方法总结】根据双曲线方程研究其性质的基本思路 (1)将双曲线的方程转化为标准形式. (2)确定双曲线的焦点位置,弄清方程中的a,b所对应的值,再利用c2=a2+b2得到c的值. (3)根据确定的a,b,c的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心
7、率及渐近线方程等.,【巩固训练】 下列各对双曲线中,既有相同离心率又有相同渐近线的是(),【解析】选D.对于A, 的离心率 ,渐近线 方程为y= x; 的离心率 ,渐近线方程为:y= x, 不满足题意,A不正确.,对于B, 的离心率 ,渐近线方程为y= x ; 的离心率e=2,渐近线方程为y= x, 不满足题意,B不正确. 对于C, 的离心率e=2,渐近线方程为y= x; 的离心率e=2,渐近线方程为y= x; 不满足题意,C不正确.,对于D. 的离心率e=2,渐近线方程为y= x; 的离心率e=2,渐近线方程为y= x. 满足题意,D正确.,【补偿训练】(2016天津高考)已知双曲线 (a0
8、,b0)的焦距为2 ,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为(),【解析】选A.由题意得c= .双曲线的渐近线为y= x,因为渐近线与直线2x+y=0垂直,所以(-2) = -1,所以 = .又因为c2=a2+b2,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为 -y2=1.,类型二双曲线的离心率 【典例2】(1)(2017宜春高二检测)若双曲线 (a0,b0)的一条渐近线经过圆(x-1)2+(y-2 )2=16的圆心,则此双曲线的离心率是() A.2B.3C. D.9,(2)(2016山东高考)已知双曲线E: (a0,b0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E
9、的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是_.,【解题指南】(1)利用已知条件求出双曲线的渐近线方程,从而得到a,b的关系式,再求双曲线的离心率. (2)充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.,【解析】(1)选B.由题意知圆心(1,2 )在双曲线的渐近线y= x上,则2 = ,所以b2=8a2,即c2-a2=8a2,所以e= =3.,(2)假设点A在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得 代入双曲线方程 ,可得 1,所以e2-1= ,又e1,所以可求得e=2. 答案:2,【方法总结】求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a,c,则直接利用
10、e= 得解. (2)若已知a,b,可直接利用 得解. (3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0 (p,q,r为常数,且p0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解.,【巩固训练】 已知双曲线 的离心率e(1,2),则m的取值范围是() A.(-12,0)B.(-,0) C.(-3,0)D.(-,-12),【解析】选A.由双曲线的标准方程知: a2=4,b2=-m,离心率e= (1,2), 解得-12m0. 所以m的取值范围是(-12,0).,【补偿训练】(2016全国卷)已知F1,F2是双曲线 E: 的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=
11、,则E的离心率为(),【解析】选A.离心率e= ,由正弦定理得,类型三双曲线的渐近线 【典例3】(1)(2017天津高考)已知双曲线 (a0,b0)的左焦点为F,离心率为 .若经过F和P(0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方 程为(),(2)(2017全国丙卷)已知双曲线C: (a0, b0)的一条渐近线方程为y= x,且与椭圆 =1 有公共焦点,则C的方程为(),【解题指南】(1)可根据离心率与渐近线找出a,b,c的关系,进而求出双曲线方程. (2)根据渐近线方程先确定 ,又由公共焦点推导出c的值,再根据a,b,c的关系可求出双曲线方程.,【解析】(1)选B.由题意得,
12、a=b, =1,c=4,a=b=2 , 所以双曲线方程为 =1. (2)选B.由题意可得: ,c=3,又a2+b2=c2, 解得a2=4,b2=5, 则C的方程为 =1.,【方法总结】由渐近线设双曲线方程的方法 (1)渐近线为 的双曲线方程可设为: (2)如果两条渐近线的方程为AxBy=0,那么双曲线的 方程可设为A2x2-B2y2=m(m0).,(3)与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为,【巩固训练】(1)求与椭圆 有相同焦点,且以 y= x为渐近线的双曲线的方程. (2)求与双曲线 有共同渐近线,且过点(-1,2) 的双曲线方程.,【解析】(1)椭圆 的焦点是F1(-5,0),F2(5,0
13、). 因为双曲线的渐近线方程是y= x,故可设双曲线的 方程是 (k0),即 . 由题意得 ,解得k=16, 所以所求双曲线的方程为 .,(2)由题意设所求双曲线方程为 ,又因其过 点(-1,2),将该点代入 得 ,=- , 所以所求双曲线方程为 .,【补偿训练】求一条渐近线方程是3x+4y=0且过点 ( ,3)的双曲线的标准方程,并求此双曲线的离心率.,【解析】由题意可设双曲线的方程为9x2-16y2= (0),又点( ,3)在双曲线上,则9( )2-16 32=,得=-9,即双曲线的方程为9x2-16y2=-9, 标准方程为 由此可知a2= ,b2=1, c2=a2+b2= ,离心率,【课堂小结】 1.知识总结,2.方法总结 (1)双曲线草图的画法 定位:依焦点. 定形:依渐近线. (2)双曲线渐近线方程的求法 将标准方程右侧的1换成0,整理后可得两条渐近线的方程.,
