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1、2014中考 专题十二 图形的变换与相似【知识要点】1、图形的轴对称（1）轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线.（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称.两个图形中的对应点叫对称点.（3）轴对称的性质： a.对应线段相等，对应角相等；对称点的连线被对称轴垂直平分. b.轴对称图形变换的特征是不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；新旧图形具有对称性.2、图形的中心对称（1）中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能与另一个图形重合
2、，那么，这两个图形成中心对称，该点叫做对称中心.（2）中心对称图形：一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，该点叫对称中心.（3）中心对称的性质：在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心且被对称中心平分.3、图形的平移（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.（2）特征： A.平移后，对应线段相等且平行；对应点所连的线段平行且相等. B.平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行，方向相同. C.平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置；平移后新旧两图形全等.4、图形的旋转（1）定义：在平面内，将一个图形绕一
3、个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.（2）特征：图形旋转过程中，图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.5、图形的相似 （1）比例的性质： a.A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然. b.A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D. c.A/B=C/D=.=M/N，那么A+C+M/B+D+N=A/B.（2）黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点
4、，AC与AB的比叫做黄金比.（3）图形相似：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.（4）相似三角形：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.条件：AA、SSS、SAS.（5）相似多边形的性质：相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.（6）图形的放大与缩小：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.【典
5、例分析】一、图形的对称问题1.中心对称图形、轴对称图形问题例1.（2013贵州毕节）在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） 线段，角，等边三角形，圆，平行四边形，矩形ABCD我来试一试1.（2012 湖北随州）下列图形：等腰梯形，菱形，函数的图象，函数y=kx+b（k0）的图象，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A B C D2.两线段之和最小的值问题例2.（2013 山东日照） 问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B,连接A B与直线l交于点C，则点C即为所求.（1）实践运用：
6、如图(b)，已知，O的直径CD为4，点A 在O 上，ACD=30，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为_ （2）知识拓展：如图(c)，在RtABC中，AB=10，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程我来试一试1.（2013湖北鄂州）如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A6B8C10D122.（2013 山东济宁）如图，在直
7、角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时，点C的坐标是（） A（0，0） B（0，1） C（0，2） D（0，3）3.（2013四川内江 16）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= 4.（2013贵州省六盘水） （1）观察发现 如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下： 作点B关于直线m的对称点B，连接AB，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB的长度即为AP+BP的最小值
8、如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下： 作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 （2）实践运用 如图（3）：已知O的直径CD为2，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 （3）拓展延伸 如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法3.翻折变换、折叠问题例3.(2012 江苏连云港 3分)小明在
9、学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5角的正切值是() A.1 B1 C2.5 D 我来试一试1.(2012 浙江丽水 3分)如图，在等腰ABC中，ABAC，BAC50BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则CEF的度数是 二、图形的平移问题1.图形变化求坐标的问题例4.（2013 山东泰安3分）在如图所示的单位正方形网格中，ABC经过平移后得到A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆
10、时针旋转180，得到对应点P2，则P2点的坐标为（）A（1.4，1） B（1.5，2） C（1.6，1） D（2.4，1）我来试一试1.（2013四川遂宁4分）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A，点A关于y轴对称的点的坐标是（ ）A（3，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）2.（2012 浙江义乌 3分）如图，将周长为8的ABC沿BC方向平移1个单位得到DEF，则四边形ABFD的周长为（） A6 B8 C10 D12三、图形的旋转问题：1.利用旋转的性质求角度与长度问题例5.(2012 贵州六盘水4分)两块大小一样斜边为4且含有30角的三角板如图5水平放置.将CDE绕C点按
11、逆时针方向旋转，当E点恰好落在AB上时，CDE旋转了 度.我来试一试1.（2013山东济宁3分）如图，ABC和ABC是两个完全重合的直角三角板，B=30，斜边长为10cm三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转，当点A落在AB边上时，CA旋转所构成的扇形的弧长为 cm2.（2013 山东聊城3分）如图，在等边ABC中，AB6，D是BC的中点，将ABD绕点A旋转后得到ACE，那么线段DE的长度为 2.旋转的性质与图形结合问题例6.（2013湖南娄底9分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将RtAEF绕A点按逆时针方向
12、旋转角（090），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P （1）求证：AM=AN； （2）当旋转角=30时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由四、图形的相似问题：1.相似三角形的判定与性质例7.（2013四川内江 3分）如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，SDEF：SABF=4：25，则DE：EC=（）A2：5B2：3C3：5D3：2我来试一试ABCDE第1题1.（2013浙江台州 4分）如图，在ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则：的值为（ ） A1： B1:2 C1:3 D1:4 2.（2013贵州
13、安顺4分）在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= 3.如图所示，在ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= .（第4题)ABCDEPFQ（第3题）4.（2013四川巴中10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B （1）求证：ADFDEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长2.相似三角形的判定与性质例8.（2013广东珠海 9分）如图，在RtABC中，C=90，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P），当AP旋转至APAB时，点B、P、P恰好在同一直线上，此时作PEAC于点E （1）求证：CBP=ABP； （2）求证：AE=CP； （3）当，BP=5时，求线段AB的长我来试一试1.（2013泰安12分）如图，四边形ABCD中，AC平分DAB，ADC
