《人教A高中数学必修四课件21平面向量的实际背景及基本概念3》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教A高中数学必修四课件21平面向量的实际背景及基本概念3(51页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念,【知识提炼】 1.向量 既有_,又有_的量. 2.有向线段 带有_的线段,它包含三个要素:_、方向、长度.,大小,方向,方向,起点,3.向量的表示法 (1)几何表示:用_表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的_(或称模),记作_. (2)字母表示:通常在印刷时,用黑体小写字母a,b,c,表示向量,书写时,可写成带箭头的小写字母 ,.还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以A为起点,以B为终点的向量记为 .,有向线段,长度,4.几种特殊的向量 (1)零向量:长度为_的向量,记作_. (2)单位向量:长度等于_的
2、向量叫做单位向量. (3)相等向量:长度_且方向_的向量. (4)平行向量:方向_的非零向量,如果向量a和b平行,记作_;规定零向量与任意向量_.,0,0,1,相等,相同,相同或相反,ab,平行,【即时小测】 1.思考下列问题. (1)向量 与向量 是相等向量吗? 提示:不是.向量 与向量 的方向相反不是相等向量. (2)两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线一定平行吗? 提示:不一定.两个向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线平行或重合.,2.有下列物理量:质量;温度;角度;弹力;风速. 其中可以看成是向量的个数() A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.因为质量、温度、角度只有大
3、小,没有方向,所以他们不是向量,而弹力、风速既有大小,又有方向,所以它们可以看成向量.,3.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是() A.也可以用 表示 B.方向是由M指向N C.始点是M D.终点是M 【解析】选D.终点是N而不是M.,4.如图,以1cm3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中,则以A为始点,可以写出_个不同的向量.,【解析】由图可知,以A为始点的向量有 共有7个. 答案:7,【知识探究】 知识点1 向量的物理背景及概念 观察图形,回答下列问题: 问题1:上面图中的两种力有何特点?你还能举出物理学中力的一些实例吗? 问题2:这样的量与数量有怎样的区别,与有向线段有何区
4、别?,【总结提升】 1.理解向量概念应关注的三点 (1)本书所学向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移. (2)判断一个向量是否为向量,就要看它是否具备了大小和方向两个因素. (3)向量与向量之间不能比较大小.,2.向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量就是相等的向量. (2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.,【拓展延伸】向量与数量的区别和联系,知识点2 向量与向量的关系 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:两个向量的长
5、度相等,这两个向量就是相等向量吗?与已知向量相等的向量是唯一的吗? 问题2:平行向量与共线向量的含义一样吗?,【总结提升】 1.对平行向量、相等向量概念的理解 (1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量,规定零向量与任意向量平行,即对任意的向量a,都有0a,这里注意概念中提到的“非零向量”. (2)对于任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.在平面上,两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量,因为向量完全由它的方向和模确定的. (3)相等向量是平行(共线)向量,但平行(共线)向量不一定是相等向量.,2.平行向量与共线向量的含义 (1)平行向量与共线
6、向量是同一概念的不同名称,根据定义可知,平行(共线)所在的直线可以平行,也可以重合. (2)共线向量所在的直线可以平行,与平面几何中的“共线”含义不同. (3)平行向量可以在同一条直线上,与平面几何中“直线平行”不同,平面中两直线平行是指两直线没有公共点.,【题型探究】 类型一 向量的概念、零向量、单位向量 【典例】1.下列各量中是向量的是() A.时间B.加速度C.面积D.长度,2.给出下列说法 零向量是没有方向的; 零向量的长度为0; 零向量的方向是任意的; 单位向量的模都相等; 由于0方向不确定,故0不能与任一向量平行; 其中正确的是_(填上序号).,【解题探究】1.向量的特征是什么?
7、提示:既有大小又有方向. 2.零向量和单位向量的特征是什么?零向量的方向是怎么规定的? 提示:零向量的长度为0.单位向量的长度为1.零向量的方向是任意的.,【解析】1.选B.加速度是既有大小又有方向的量,是向量.而时间,面积,长度是只有大小的量,是数量. 2.由零向量的方向是任意的,知错误,正确;由零向量的定义知正确;由单位向量的模1,知正确.依据规定:0与任一向量平行,错误. 答案:,【方法技巧】 1.判断一个量是否为向量的两个关键条件 关键看它是否具备向量的两要素:(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可. 2.理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的,所有的零向量
8、都相等. (2)单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.,【变式训练】(2015邢台高一模拟)汽车以100km/h的速度向东行驶 2 h,而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h.则关于下列说法:汽车的速度大于摩托车的速度,汽车的位移大于摩托车的位移,汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程.其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】选B.向量不能比较大小,速度、位移是向量.数量可以比较大小,所以只有正确.,类型二 相等向量与共线向量 【典例】1.给出下列说法 若向量a与b同向,且|a|b|,则ab; 若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反; 若ab,则a
9、=b 若ab,则a与b不是共线向量. 向量a与b不共线,则a与b都是非零向量. 其中错误的说法是_.,2.如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些? (2)与a共线的向量有哪些? (3)请一一列出与a,b,c相等的向量.,【解题探究】1.两个向量能否比较大小?相等向量与共线向量有怎样的关系? 提示:两个向量不能比较大小;相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量. 2.典例2中的正六边形的对边有哪些性质?表示共线向量的有向线段所在直线有什么位置关系? 提示:正六边形的对边平行且相等;表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合.,【解析】1.
10、不正确因为向量由两个因素来确定,即大小和方向,所以两个向量不能比较大小 不正确由|a|=|b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们方向的关系 不正确,ab,则向量a与b方向不一定相同,模也不一定相等,无法得到a=b. 不正确,若ab则a与b模可能不相等但方向可能相同,所以有可能是共线向量.,正确,若向量a与b有一个为零向量,则a与b一定共线,所以a与b不共线时,一定有a与b都是非零向量. 答案:,2.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有 (2)与a共线的向量有 (3)与a相等的向量有 ;与b相等的向量有 ;与c相等的向量有,【延伸探究】 1.(改变问法)本例2中条件不变,试写出与向量 相等的
11、向量. 【解析】与向量 相等的向量有,2.(变换条件)本例2中,若|a|=1,则正六边形的边长如何? 【解析】由正六边形性质知,FOA为等边三角形,所以边长AF=|a|=1.,【方法技巧】相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.,【补偿训练】1.在下列说法中,正确的是() A.两个有公共起点且共线的向量,其终点必相同 B.模为0的向量与任一非零向量平行 C.向量
12、就是有向线段 D.两个有公共终点的向量一定是共线向量 【解析】选B.在选项A中,因为向量的方向和长度未知,所以向量的终点也未必相同;在选项C中,向量与有向线段是两个不同的概念;在选项D中,这两个向量的起点没有确定,故无法判断它们是否共线.,2.如图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形 (1)写出与向量 相等的向量. (2)写出与向量 共线的向量,【解析】(1) 与向量 相等的向量有 (2)与向量 共线的向量,类型三 向量的几何表示及应用 【典例】1.如图所示,已知AD=3,B,C是线段AD的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点,长度大于1的向量的个数为() A.3B.4C.5D.6
13、,2.(2015渭南高一检测)一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点,然后又改变方向向西偏北50走了200千米到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D点 (1)作出向量 ;(2)求| |.,【解题探究】1.典例1中长度大于1的向量的模应为多少? 提示:长度大于1的向量的模为2或3. 2.典例2中画平面向量的关键是什么?与 相等的向量是哪个向量? 提示:画平面向量的关键确定平面向量的起点和终点.与 相等的向量是,【解析】1.选D.根据题意可得:模等于2的向量有 模等于3的向量有 .故图中长度大于1的向量共有6个. 2.(1)如图所示,(2)由题意,易知 与 方向相反,故 与
14、共线即 又 所以四边形ABCD为平行四边形 所以 =200(千米),【方法技巧】用有向线段表示向量的方法. (1)用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点 (2)必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例关系作出向量,【变式训练】在下图所示的坐标纸上,用直尺和圆规画出下列向量,每个小方格边长为1 (1) ,使| |= ,点A在点O东偏北45; (2) ,使| |=4,点B在点A正东方向; (3) ,使| |=7,点C在点B正北方向,【解析】(1)由于点A在点O东偏北45,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向
15、小方格数相等,又 ,小方格边长为1,所以点A距O点的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定,画出OA如图所示.,(2)由于点B在点A正东方向处,且| |=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B的位置可以确定,画出AB如图所示. (3) 由于点C在点B正北方向,且| |=7,所以在坐标纸上点C距点B的纵向小方格数为7,横向小方格数为0,于是点C的位置可以确定,画出 如图所示.,【补偿训练】飞机从A地按北偏西15的方向飞行1400 km到达B地,再从B地按东偏南15的方向飞行1400 km到达C地,那么C地在A地什么方向?C地距A地多远?,【解
16、析】如图所示, 表示飞机从A地按北偏西15方向飞行到B地的位移, 则| |=1 400 km. 表示飞机从B地按东偏南15 方向飞行 到C地的位移,则| |=1 400 km. ABC=60, 又| |=| | 所以ABC为正三角形,,所以| |=1400 km, ACB=60,则ACO=45,所以OAC=45, 故C在A地北偏东45方向,C地距A地1400 km.,易错案例 向量有关概念的应用 【典例】(2015韶关高一检测)给出下列说法 若ab,则a与b的方向相同或相反. 若ab,bc,则ac 若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等. 若a=b,b=c,则a=c. 其中正确的是_(填上序号),【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是忽视了特殊向量零向量在判断向量关系中的作用. 【自我矫正】由于零向量的方向是任意的,且规定与