《人教A高中数学必修四课件21平面向量的实际背景及基本概念3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A高中数学必修四课件21平面向量的实际背景及基本概念3（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念,【知识提炼】 1.向量 既有_，又有_的量. 2.有向线段 带有_的线段，它包含三个要素：_、方向、长度.,大小,方向,方向,起点,3.向量的表示法 (1)几何表示：用_表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的_(或称模)，记作_. (2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母 ，.还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B为终点的向量记为 .,有向线段,长度,4.几种特殊的向量 (1)零向量：长度为_的向量，记作_. (2)单位向量：长度等于_的
2、向量叫做单位向量. (3)相等向量：长度_且方向_的向量. (4)平行向量：方向_的非零向量，如果向量a和b平行，记作_；规定零向量与任意向量_.,0,0,1,相等,相同,相同或相反,ab,平行,【即时小测】 1.思考下列问题. (1)向量 与向量 是相等向量吗？ 提示：不是.向量 与向量 的方向相反不是相等向量. (2)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行吗？ 提示：不一定.两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线平行或重合.,2.有下列物理量：质量；温度；角度；弹力；风速. 其中可以看成是向量的个数() A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.因为质量、温度、角度只有大
3、小，没有方向，所以他们不是向量，而弹力、风速既有大小，又有方向，所以它们可以看成向量.,3.已知向量a如图所示，下列说法不正确的是() A.也可以用 表示 B.方向是由M指向N C.始点是M D.终点是M 【解析】选D.终点是N而不是M.,4.如图，以1cm3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出_个不同的向量.,【解析】由图可知，以A为始点的向量有 共有7个. 答案：7,【知识探究】 知识点1 向量的物理背景及概念 观察图形，回答下列问题： 问题1：上面图中的两种力有何特点？你还能举出物理学中力的一些实例吗？ 问题2：这样的量与数量有怎样的区别，与有向线段有何区
4、别？,【总结提升】 1.理解向量概念应关注的三点 (1)本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移. (2)判断一个向量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素. (3)向量与向量之间不能比较大小.,2.向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关.只要大小和方向相同，这两个向量就是相等的向量. (2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.,【拓展延伸】向量与数量的区别和联系,知识点2 向量与向量的关系 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：两个向量的长
5、度相等，这两个向量就是相等向量吗？与已知向量相等的向量是唯一的吗？ 问题2：平行向量与共线向量的含义一样吗？,【总结提升】 1.对平行向量、相等向量概念的理解 (1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行，即对任意的向量a，都有0a，这里注意概念中提到的“非零向量”. (2)对于任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定的. (3)相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量.,2.平行向量与共线向量的含义 (1)平行向量与共线
6、向量是同一概念的不同名称，根据定义可知，平行(共线)所在的直线可以平行，也可以重合. (2)共线向量所在的直线可以平行，与平面几何中的“共线”含义不同. (3)平行向量可以在同一条直线上，与平面几何中“直线平行”不同，平面中两直线平行是指两直线没有公共点.,【题型探究】 类型一 向量的概念、零向量、单位向量 【典例】1.下列各量中是向量的是() A.时间B.加速度C.面积D.长度,2.给出下列说法 零向量是没有方向的； 零向量的长度为0； 零向量的方向是任意的； 单位向量的模都相等； 由于0方向不确定，故0不能与任一向量平行； 其中正确的是_(填上序号).,【解题探究】1.向量的特征是什么？
7、提示：既有大小又有方向. 2.零向量和单位向量的特征是什么？零向量的方向是怎么规定的？ 提示：零向量的长度为0.单位向量的长度为1.零向量的方向是任意的.,【解析】1.选B.加速度是既有大小又有方向的量，是向量.而时间，面积，长度是只有大小的量，是数量. 2.由零向量的方向是任意的，知错误，正确；由零向量的定义知正确；由单位向量的模1，知正确.依据规定：0与任一向量平行，错误. 答案：,【方法技巧】 1.判断一个量是否为向量的两个关键条件 关键看它是否具备向量的两要素：(1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可. 2.理解零向量和单位向量应注意的问题 (1)零向量的方向是任意的，所有的零向量
8、都相等. (2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.,【变式训练】(2015邢台高一模拟)汽车以100km/h的速度向东行驶 2 h，而摩托车以50 km/h的速度向南行驶2 h.则关于下列说法：汽车的速度大于摩托车的速度，汽车的位移大于摩托车的位移，汽车行驶的路程大于摩托车行驶的路程.其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】选B.向量不能比较大小，速度、位移是向量.数量可以比较大小，所以只有正确.,类型二 相等向量与共线向量 【典例】1.给出下列说法 若向量a与b同向，且|a|b|，则ab； 若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； 若ab，则a
9、=b 若ab，则a与b不是共线向量. 向量a与b不共线，则a与b都是非零向量. 其中错误的说法是_.,2.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a，b，c相等的向量.,【解题探究】1.两个向量能否比较大小？相等向量与共线向量有怎样的关系？ 提示：两个向量不能比较大小；相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. 2.典例2中的正六边形的对边有哪些性质？表示共线向量的有向线段所在直线有什么位置关系？ 提示：正六边形的对边平行且相等；表示共线向量的有向线段所在直线平行或重合.,【解析】1.
10、不正确因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小 不正确由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系 不正确，ab，则向量a与b方向不一定相同，模也不一定相等，无法得到a=b. 不正确，若ab则a与b模可能不相等但方向可能相同，所以有可能是共线向量.,正确，若向量a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，所以a与b不共线时，一定有a与b都是非零向量. 答案：,2.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有 (2)与a共线的向量有 (3)与a相等的向量有 ；与b相等的向量有 ；与c相等的向量有,【延伸探究】 1.(改变问法)本例2中条件不变，试写出与向量 相等的
11、向量. 【解析】与向量 相等的向量有,2.(变换条件)本例2中，若|a|=1，则正六边形的边长如何？ 【解析】由正六边形性质知，FOA为等边三角形，所以边长AF=|a|=1.,【方法技巧】相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线. (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.,【补偿训练】1.在下列说法中，正确的是() A.两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同 B.模为0的向量与任一非零向量平行 C.向量
12、就是有向线段 D.两个有公共终点的向量一定是共线向量 【解析】选B.在选项A中，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点也未必相同；在选项C中，向量与有向线段是两个不同的概念；在选项D中，这两个向量的起点没有确定，故无法判断它们是否共线.,2.如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形 (1)写出与向量 相等的向量. (2)写出与向量 共线的向量,【解析】(1) 与向量 相等的向量有 (2)与向量 共线的向量,类型三 向量的几何表示及应用 【典例】1.如图所示，已知AD=3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，长度大于1的向量的个数为() A.3B.4C.5D.6
13、,2.(2015渭南高一检测)一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点 (1)作出向量 ；(2)求| |.,【解题探究】1.典例1中长度大于1的向量的模应为多少？ 提示：长度大于1的向量的模为2或3. 2.典例2中画平面向量的关键是什么？与 相等的向量是哪个向量？ 提示：画平面向量的关键确定平面向量的起点和终点.与 相等的向量是,【解析】1.选D.根据题意可得：模等于2的向量有 模等于3的向量有 .故图中长度大于1的向量共有6个. 2.(1)如图所示,(2)由题意，易知 与 方向相反，故 与
14、共线即 又 所以四边形ABCD为平行四边形 所以 =200(千米),【方法技巧】用有向线段表示向量的方法. (1)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点 (2)必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量,【变式训练】在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量，每个小方格边长为1 (1) ，使| |= ，点A在点O东偏北45； (2) ，使| |=4，点B在点A正东方向； (3) ，使| |=7，点C在点B正北方向,【解析】(1)由于点A在点O东偏北45，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向
15、小方格数相等，又 ，小方格边长为1，所以点A距O点的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出OA如图所示.,(2)由于点B在点A正东方向处，且| |=4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出AB如图所示. (3) 由于点C在点B正北方向，且| |=7，所以在坐标纸上点C距点B的纵向小方格数为7，横向小方格数为0，于是点C的位置可以确定，画出 如图所示.,【补偿训练】飞机从A地按北偏西15的方向飞行1400 km到达B地，再从B地按东偏南15的方向飞行1400 km到达C地，那么C地在A地什么方向？C地距A地多远？,【解
16、析】如图所示， 表示飞机从A地按北偏西15方向飞行到B地的位移， 则| |=1 400 km. 表示飞机从B地按东偏南15 方向飞行 到C地的位移，则| |=1 400 km. ABC=60， 又| |=| | 所以ABC为正三角形，,所以| |=1400 km， ACB=60，则ACO=45，所以OAC=45， 故C在A地北偏东45方向，C地距A地1400 km.,易错案例 向量有关概念的应用 【典例】(2015韶关高一检测)给出下列说法 若ab，则a与b的方向相同或相反. 若ab，bc，则ac 若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等. 若a=b，b=c，则a=c. 其中正确的是_(填上序号),【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是忽视了特殊向量零向量在判断向量关系中的作用. 【自我矫正】由于零向量的方向是任意的，且规定与
