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1、第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角,【知识提炼】 1.任意角 (1)概念：平面内一条_绕着_从一个位置_到另一个位置所成的图形. (2)要素：,射线,端点,旋转,(3)分类：,逆时针,顺时针,没有,2.象限角,原点,x轴的非负半轴,第几象限角,3.终边相同的角,|=+k360，kZ,整数个,周角,【即时小测】 1.判断. (1)终边与始边重合的角是零角.() (2)终边相同的角一定相等() (3)第一象限角一定不是负角.() (4)终边在x轴上的角既是第一象限角也是第二象限角.(),【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k360(kZ)，不一定是零角. (2)错误.如-1
2、0与350终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)(2)(3)(4),2.下列各组角中，终边不相同的是() A.60与-300 B.230与950 C.1 050与-300 D.-1 000与80 【解析】选C. A终边相同.因为60-(-300)= 360； B终边相同.因为230-950=-2360； C终边不相同.因为1 050-(-300)=3360+270 D终边相同.因为-1 000-80=-3360.,3.请在下表中填空,【解析】因为181=180+1， 所以181是第三象限角； 因为4
3、06=360+46，所以406是第一象限角； 因为-750=-2360-30， 所以750与-30终边相同， 所以750是第四象限角. 答案：第三象限角第一象限角第四象限角,4.将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角度数为_，将35角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数_. 【解析】将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角为35-60=-25，将35角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为35+2360=755. 答案：-25755,5.将-885化为+k360(0360，kZ)的形式是_ 【解析】-885=195+(-3)360. 答案：195+(-3)360,【知识探究】 知识点1 任意
4、角的概念 观察图形，回答下列问题： 问题1：角的概念是通过什么方式进行推广的？ 问题2：掌握角的概念应注意角的哪些要素？,【总结提升】 1.角的概念的推广 (1)角的概念是通过角的终边的运动来推广的，根据角的终边的旋转“方向”，得到正角、负角和零角. (2)表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负.,2.用旋转来描述角时需要注意的三个要素 (1)旋转中心：射线旋转时绕的端点. (2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了. (3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超
5、过360，角度的绝对值可大于360.于是就会出现720，-540等角度.,知识点2 象限角与终边相同的角 观察图形，回答下列问题：,问题1：定义象限角、终边相同的角的前提条件是什么？ 问题2：终边相同的角之间有什么关系？ 问题3：如何用集合符号表示各象限角、终边落在坐标轴上的角？,【总结提升】 1.定义的前提条件 (1)研究象限角、终边相同的角时，必须注意前提条件：角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合. (2)如果角的顶点不与坐标原点重合，或者角的始边不与x轴的非负半轴重合，则没有象限角、终边相同角的概念.,2.象限角的集合表示,3.对终边相同的角的说明 所有与角终边相同的角，连同
6、角在内(而且只有这样的角)，可以用式子+k360，kZ表示.在运用时，需注意以下几点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉. (2)是任意角. (3)k360与之间用“+”号连接，如k360-30应看成k360+(-30)(kZ). (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍.,【拓展延伸】终边落在坐标轴上的角的集合表示,【题型探究】 类型一 与任意角有关的概念的辨析 【典例】1.给出下列说法： (1)终边在y轴非负半轴上的角是直角. (2)始边相同而终边不同的角一定不相等. (3)三角形的内角必是第一、二象限角. (4)第四象限角一定是负角
7、. (5)|=k180，kZ=0，180，360.,其中正确说法的个数是() A.1B.2C.3D.4 2.将分针拨快10分钟，则分针所转过的度数为_.,【解题探究】1.典例1中，直角、三角形的内角、负角的大小分别是多少度？象限角是如何定义的？ 提示：直角是度数为90的角、三角形的内角是大于0小于180的角、负角是小于0的角.角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限就是第几象限的角. 2.典例2中，分针的旋转方向是顺时针和逆时针？ 提示：分针的旋转方向是顺时针.,【解析】1.选A. (1)错误.-270是终边在y轴非负半轴上的角但不是直角. (2)正确.相等的角始边相同则
8、终边必相同，所以始边相同而终边不同的角一定不相等. (3)错误.三角形的内角可以是直角，它既不是第一象限角，也不是第二象限角. (4)错误.如271是第四象限角，但不是负角. (5)错误.0，180，360 |=k180，kZ,2.将分针拨快10分钟，分针顺时针旋转60，所以分针所转过的度数为-60. 答案：-60,【方法技巧】 1.角的表示的技巧 (1)通常用希腊字母，等表示，如“角”或“”，也可以简化为“”. (2)也可以用三个大写字母表示(前面要加“”)，如 “AOB”. (3)用图示表示角时，箭头不可以丢掉，因为箭头代表 了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负.,2.判断角的概念问题的关
9、键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.,【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80到OB位置，接着逆时针旋转250到OC位置，然后再顺时针旋转270到OD位置，则AOD=_.,【解析】如图： AOD=AOB+BOC+COD =(-80)+250+(-270)=-100. 答案：-100,类型二 终边相同的角的表示和应用 【典例】1.(2015成都高一检测)若角与的终边垂直，则与的关系是() A.=+90 B.=90 C.=k360+90，kZ D.=k360+90，kZ,2.在与10
10、030角终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角.(2)360720内的角.,【解题探究】1.典例1中，角的终边如何旋转后与终边相同？ 提示：角的终边顺(逆)时针旋转90后与终边相同. 2.典例2中，与10030终边相同的角如何表示？计算所求角的关键是计算什么？ 提示：与10030终边相同的角可表示为10030+k360，kZ.计算所求角的关键是确定整数k.,【解析】1.选D.因为角与的终边垂直， 所以+90或-90与的终边相同， 所以= k360+90，kZ.,2.与10030角终边相同的角的一般形式为 =10030+k360(kZ). (1)由10030+k3600. 得k3
11、60-10 030， 所以 又kZ，故所求的最大负角为=-50. (2)由36010 030+k360720， 得-9670k360-9310，又kZ，解得k=-26. 故所求的角为=670.,【方法技巧】 1.在0到360范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角化成k360+的形式(其中0360，kZ)，其中的就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360的方式；当所给角是正角时，采用连续减360的方式，直到所得结果达到要求为止.,2.终边相同角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360的整数倍. (
12、2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍. (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍.,【变式训练】1.与-463终边相同的角可以表示为() A.k360+463(kZ)B.k360+103(kZ) C.k360+257(kZ) D.k360-257(kZ) 【解析】选C.因为-463=257-2360，所以与-463终边相同的角可以表示为k360+257(kZ).,2.(2015江陵高一检测)已知角，的终边相同，那么-的终边在() A.x轴的非负半轴上 B.y轴的非负半轴上 C.x轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上 【解题指南】由角，的终边相同可得，= k360+ (k
13、Z)，由此可求-并得到其终边位置.,【解析】选A.因为角，的终边相同， 所以=k360+(kZ)， 所以-=k360(kZ)， 所以-的终边在x轴的非负半轴上.,【补偿训练】已知=-1910. (1)把写成+k360(kZ，0360)的形式，指出它是第几象限的角. (2)求，使与的终边相同，且-7200. 【解析】(1)方法一：作除法运算，注意余数必须非负， 得：-1910360=-6250， 所以=250-6360，它是第三象限的角.,方法二：设=+k360(kZ)， 则=-1910-k360(kZ)， 令-1910-k3600，解得k k的最大整数解为k=-6，求出相应的=250， 于是=
14、250-6360，它是第三象限的角.,(2)令=250+k360(kZ)， 取k=-1，-2就得到符合-7200的角. 250-360=-110，250-720=-470. 故=-110或-470.,类型三 象限角与区间角的表示 【典例】1.(2015九江高一检测)2016是第_象限角.() A.一 B.二 C.三 D.四 2.(2015宿州高一检测)如图，分别写出符合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OB上. (2)终边落在直线OA上. (3)终边落在阴影区域内(含边界).,【解题探究】1.典例1中，2016如何改写为+ k360，kZ的形式？ 提示：2016=216+5360. 2.
15、典例2中射线OA，OB分别可看作哪个角的终边？阴影区域第三象限的部分的边界分别可看作哪个角的终边？ 提示：典例2中射线OA，OB分别可看作30，60角的终边.阴影区域第三象限的部分的边界分别可看作210，240角的终边.,【解析】1.选C.2016=216+5360. 216是第三象限角，所以2016也是第三象限角. 2.(1)终边落在射线OB上的角的集合为： |=60+k360，kZ.,(2)终边落在直线OA上的角的集合为： |=30+k360，kZ |=210+k360，kZ= |=30+2k180，kZ |=30+(2k+1)180，kZ= |=30+k180，kZ.,(3)终边落在第一
16、象限阴影区域内(含边界)的角的集合为： |30+k36060+k360，kZ， 终边落在第三象限阴影区域内(含边界)的角的集合为： |210+k360240+k360，kZ， 终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为： |30+k36060+k360，kZ |210+k360240+k360，kZ= |30+2k18060+2k180，kZ |30+(2k+1)18060+(2k+1)180，kZ= |30+k18060+k180，kZ.,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例2图中直线OA改为虚线，其他条件不变，第(3)问的结果如何？ 【解析】改为虚线说明不含此边界， 终边落在阴影区域内的角的集合为： |30+k18060+k180，kZ.,2.(改变问法)若在典例2(3)中第三象限阴影区域内，试画出角 的终边所在的阴影区域. 【解析】因为210+k360240+k360，kZ， 所以105+k180 120+k180，kZ， 所以角
