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1、第一章几何晶体学本章目的和要求了解点阵的概念, 理解平移群、素向量、单位晶胞、结构基元、点阵结构等概念及其相互关系。了解十四种空间点阵的名称、符号及其节点位置标记法。了解晶态的特征、本质特征，及晶态与非晶态的区别。了解宏观对称性与微观对称性的区别和联系。了解有理数定律，并掌握晶面及平面点阵的符号标记法。一、什么是晶体最初，人们注意到自然界中的有些固体具有整齐的多面体外形，比如水晶是六角柱，食盐是立方体，方解石是菱面体，从而对晶体有了初步的概念，把具有整齐外形，以多面体出现的固体物质称为晶体。那么，晶体的本质特征是什么？是否只有那些具有整齐外形，以多面体出现的物质是晶体？我们常见的不具有整齐外形
2、的固体物质，例如：沙子，石墨，岩石等，是否是晶体呢？我们常见的石墨(Graphite)并没有规则的外形，但我们说石墨也是晶体，为什么呢？把石墨放在扫描隧道显微镜(STM，Scanning Tunneling Microscopy)下观察，可以看到石墨中原子的排列情况(如下图)。很明显，虽然石墨块并没有规则的外形，但在显微镜下可以看到构成石墨的碳原子的排列是有序的。石墨的扫描隧道显微镜图（http:/chem.lapeer.org/physicsdocs/Goals2000/Lesson1.html）又比如铂（platinum, 白金） 。白金首饰可以做成各种形状，构成白金的铂原子是怎么排列的？
3、从下面铂的扫描隧道显微镜图（http:/ 上给出了 Fe的照片，和 Pt 一样）可以看到，铂原子的排列非常有序。铂的扫描隧道显微镜图 Si 的高分辨环形暗场扫描透射电子显微镜图 Si 的高分辨环形暗场扫描透射电子显微镜（Annular Dark-Field Scanning Transmission Electron Microscopy）照片也显示，硅原子的排列是有序的，如上右图。下面的的高分辨透射电子显微镜显示了超导材料 TlBa2Ca3Cu4O11 中
4、各种离子的排列情况。TlOCuCuCuCuOTlTlOCuCuCuCuOTlBaCaOCaOCaOOBaOO从上面给出的例子可以归纳出晶体的本质是：物质的存在状态；在该状态下，组成该物质的微粒（原子，分子，离子）在空间排列有规则知道了晶体是组成物质微粒有序排列的存在状态，如何描述晶体的这种存在状态，即晶体结构呢？晶体结构的描述包含三个因素：微粒种类（原子，分子，离子） ，即晶体是由什么微粒组成的。微粒排列的方式，用点阵来描述。微粒的位置（坐标）在几何晶体学种主要学习微粒的排列方式：点阵。Lattice点阵按其结点分布情况，分为三类：直线点阵（一维点阵）平面点阵（二维点阵）空间点阵（三维点阵，立
5、体点阵）直线点阵：一维方向上等距离的无限多的结点组成的点阵。如下图。那么，无数个点按下图方式排列是否构成直线点阵呢？如果我们考虑所有的点，它们不构成直线点阵（因为靠近的两个点的环境不同） 。但如果我们考虑其中的一个点（只考虑两个点中左边或右边的那个点） ，或者将两个点放在一起考虑，就可以抽象出一个直线点阵。平面点阵：直线点阵沿某方向等距离平移。平面格子 Lattice ：平面点阵按照它本身的周期划分成的无数并置的平行四边形单位 注意：英文中点阵、格子都用 Lattice 表示，有时候晶胞（cell）也用 Lattice 表示平面点阵可以分为：斜形点阵；矩形点阵；菱形点阵；正方形点阵；三角形点阵
6、。斜形点阵,如图为一斜形点阵，a b， 6090。如果取格子 1，每个格子中包含几个点？很明显是一个。格子 2 呢？也是一个。因为每个顶角的点被四个格子所共有。格子 3 呢？二个。象格子 1 和 2 这样只包含一个点的格子称为素格子，而象格子 3 这样包含多个点的格子称为复格子。如果 a=b，= 90，则得到矩形点阵，如上图。在矩形点阵中，同样可以取出斜形格子，但因为这样取格子将不能体现出其垂直的特征，故不取斜形格子。如果 a=b， 6090，则得到菱形点阵。对于菱形点阵，经常取如图中的矩形复格子，称为有心矩形点阵（格子） 。如果 a=b，=90，则得到正方形点阵。
7、 如果 a=b，=60，则得到三角形点阵ab格子 2格子 1格子 3空间点阵（格子）：平面点阵沿某方向等距离平移。 （将在后面讲述）前面说到，点阵（格子）的概念是用来描述晶体结构的，点阵是从晶体结构中抽象出来的，怎么抽象呢？或者说，格子和晶体结构之间有什么关系？格子和晶体结构之间的关系为：晶体结构=格子+ 平移结构基元 Pattern= Lattice + Translation Motif一维“格子”和“晶体结构”之间的关系二维格子和“晶体结构”之间的关系上图中黑点表示碳原子，它们的排列形成什么点阵？平移结构基元是什
8、么？图中给出了选取的三角形格子。这个格子是素格子还是复格子？ 素格子。在图中所给出的格子 1 或 2 中，如何表示两个碳原子的位置？如下左图，取坐标轴和原点，那么原子在 a 和 b 上的截距分别为 1/3a 和 2/3b，则其坐标用分数坐标来表示为（ 1/3， 2/3） 。如下左图，取坐标轴和原点，那么原子在 a 和 b 上的截距分别为 1/3a 和 2/3b，则其坐标用分数坐标来表示为（ 2/3， 1/3） 。同样，在三维空间中，位置也用分数坐标表示。比如，在房间中任意一点的坐标，如果分别以房间的长（a） 、宽（b） 、高（c）为单位，该点在各坐标轴上的截距分别为 xa，yb，z
9、c ，则其坐标为(x，y，z)。注意不要把原子和格点混淆：格点是在空间上无限小的点原子是物理实体格点不一定是在原子的中心三维格子和晶体结构之间的关系在这里，我们还没有学习三维格子的类型，但是可以先思考两个问题：1，如图 CsCl 晶体结构，小球表示 Cl 离子，大球表示 Cs 离子，那么晶体形成一个什么点阵（素点阵还是复点阵）？结构基元是什么？2，如果把 Cl 离子和 Cs 离子都换作 Fe 原子，又形成什么点阵，和 CsCl 晶体形成的点阵是否相同？结构基元是什么？+结构基元格子 1格子 2(0,0)b 2/3b1/3aa (0,0)ba1/3a， 2/3b2/3a， 1/3b点阵的平移群在
10、学习点阵的平移群之前，先学习群的概念。群（Group ）的定义非空集合 G 中的元素对与运算 “*”满足条件：封闭： c=a*b, c 在 G 中结合律： a*(b*c) =(a*b)*c有单位元 e： a*e=e*a=a有逆元： a*b=b*a=e则非空集合 G 称为群。下面给出几个简单群的例子。数字（1, -1, i, -i）关于乘法构成群 G:1, -1, i, -i1 -1 i -i1 1 -1 i -i-1 -1 1 -i ii i -i -1 -1-i -i i 1 -1动作（立正, 左转, 右转,后转）关于运算“*”构成群 G:立正, 左转, 右转,后转
11、这里定义运算为，立正*左转=先立正再左转，左转*后转=先左转再后转我们可以验证是否构成群。立正 左转 右转 后转立正 立正 左转 右转 后转左转 左转 后转 立正 右转右转 右转 立正 后转 左转后转 后转 右转 左转 立正思考：下列集合是否构成群？G:大于 0 的所有实数对于乘法G:所有实数对于乘法G:所有实数对于加法点阵的平移群能使点阵复原的所有平移，包括素向量 a 和大于 a 的复向量，对于向量的加法组成一个向量群，这个向量群，称为平移群。 （这个群中的元素为无数个）直线点阵的平移群 Tm=ma (m=0,+1,+2,)平面点阵的平移群 Tmn=ma+nb（m，n-2，-1，0，1，2，
12、）aba空间点阵的平移群 Tmnp=m a+n b+p c (m,n,p=, -2, -1, 0, 1, 2, )从群的定义，我们可以知道点阵的平移群有如下性质：用平移群中的任何一个向量，使点阵中任一结点进行平移，向量顶端必指向另一结点点阵中任意两点间相联的向量必定属于平移群晶体的特性 晶体的各向异性（向量性） ，即晶体性质在不同方向上不同。晶体的均匀性，即从晶体中取任意一小块，其性质和整块晶体性质相同。晶体的对称性，即晶体的外形具有对称性。自范性，即晶体能自发生长出规则外形。有固定熔点等。这些特性都是由于晶体具有点阵结构所致。晶态与非晶态1单晶体与多晶体具有一基本上完整的点阵结构的晶体称为单
13、晶体，一般就称为晶体，例如在一颗石英单晶体中，同一个点阵的周期性贯彻在整个晶体中。金属从熔融的液态凝为固体的过程中，在液体中各处产生了很多取向机遇的晶核，每个晶核最后成长为一颗小单晶体，叫做晶粒，这些晶粒结合成为金属的晶块，这样的晶块一般称为多晶体（各向同性） 。很多化学沉淀也是由较小的单晶体组成的。单晶体和多晶体都是结晶物质，它与非结晶物质有明显的分别，可从 X 射线衍射中看出来。现代科学和技术中广泛利用单晶体。例如：利用单晶体 NaC1、LiF、CaF 2 等来制造能通过紫外线和红外线的光学棱镜及透镜，SiO 2（水晶） 、酒石酸钾钠等单晶体作超声波来源等，精密仪器、钟表中用红宝石（混有少
14、量 Cr2O3 的 A12O3 晶体）制作轴承。 2微晶物质与无定形物质有一些物质，例如炭黑，是由极微小的单晶体组成的，这些单晶体的每边只有几个或几十个晶胞的晶棱长度，比起其他结晶物质的单晶体至少小了千百倍以上。人们往往称它们为无定形物质，但称为微晶物质较为恰当。另外也还有真正的无定形物质，例如玻璃，它的内部结构是超冷液体结构，没有周期性。微晶物质和无定形物质都是非结晶物质。3.玻璃体玻璃体一般在室温下凝成固体，具有一定的机械强度与硬度等，热膨胀系数很小，碎裂时断面呈贝壳状。玻璃体一般是各向同性；与晶体不同，并不具有确定的熔点，而能在变成自由流动的液体前开始软化，从衍射效应看来，玻璃体的结构相
15、当于冻结了液体结构，所以结构中并无远程的秩序或周期性。4. 结晶状态与非结晶状态的区别严格说来，结晶物质与非结晶物质这种说法是不恰当的，因为结晶与不结晶并不是物质的本性，而是物质的一种存在的状态，同一物质在不同条件下可以成为结晶状态与非结晶状态。所以用结晶状态与非结晶状态来代替结晶物质与非结晶物质更恰当一些。但习惯上仍然称为结晶物质与非结晶物质。结晶状态与非结晶状态最本质的区别：微粒排列有无周期性。实验上可用 X 射线衍射的方法来区别。除此之外，用晶体的特性也可区别晶态与非晶态。例如晶态有各向异性，非晶态则各向同性。注意：用均匀性能否区别晶态与非晶态？不能。5.液态晶体有一些分子很长的有机化合
16、物晶体，例如 p,p'二乙氧基氧化偶氮苯（p-azoxyphenetole） ，在加热过程中结构将发生如下变化。其中，b 和 c 状态虽然呈液态，但仍具有各向异性的特点，被称为液态晶体。液态晶体在溶液中也可以出现。只有分子很长的晶体受热时才能得到它的液态晶体，球状分子或分子不很长的晶体是不会呈液态晶体的。有机化合物中能呈液态晶体的物质多为芳香族化合物。6.准晶体 quasi-crystal同时具有长程准周期性平移序和非晶体学旋转对称性的固态有序相 SEAD of quasi-crystal (Al72Ni20Co8)selected area electron diffraction HRTEM of quasi-crystal (Al72Ni20Co8)光子晶体(Photonic Crystals)由不同折射率的介质周期性排列而成的人工微结构。胶态晶体(colloidal crystal)：排列有序的纳米颗粒。a:晶体（结构具有空间点阵式的周期性）c:各向异性的液体b:各向异性的液体温度增加，分子动能增加，分子因热运动而失去
