高考数学 解排列组合问题的常用方法课件 大纲人教

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1、,解排列组合问题的常用策略,排列组合应用题解法综述,计数问题中排列组合问题是最常见的，由于其解法往往是构造性的, 因此方法灵活多样, 不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。,基 本 原 理,组合,排列,排列数公式,组合数公式,组合数性质,应 用 问 题,知识结构网络图：,两个原理的区别与联系：,做一件事或完成一项工作的方法数,直接（分类）完成,间接（分步骤）完成,做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法， 第n类办法中有mn种不同的方

2、法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法,做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法.,分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件,分类计数原理分步计数原理区别,分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。,1.排列和组合的区别和联系：,从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列,从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组,所有排列的的个数,所有组合的个数,2.解决排

3、列组合综合性问题的一般过程如下:,1.认真审题弄清要做什么事,2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。,3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.,解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学

4、和 英语两个学习小组，共有多少种分法?,组合问题,(4)10人聚会，见面后每两人之间要 握手相互问候，共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个安排游览, 有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景 点的游览顺序,有多少种不同的方法?,排列问题,组合问题,3.合理分类和准确分步,解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚.,分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：,根据分步及分类计数原理，不同的站法共有,例： 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不

5、站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？,1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有 种方法.,2）若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有 种，1位的排法有 种, 第2、3、6、7位的排法有 种，根据分步计数原理，不同的站法有 种。,3）再安排老师，有2种方法。,（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？,练 习 题,分类：个位数字为5或0：,个位数为0：,个位数为5：,（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？,分类：,引申1：31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？,方法一：（

6、排除法）,方法二：（直接法）,引申2：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的 五位数中大于31250，小于50124的数共有多少个？,（3）有不同的数学书7本，语文书5本，英语书4本，由其中取出不是同一学科的书2本，共有多少种不同的取法？,（75 + 74 + 54 = 83）,回目录,解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。,基本方法 (一) 特殊元素和特殊位置问题,特殊元素和特殊位置优先策略,例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.,

7、解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置,先排末位共有_,然后排首位共有_,最后排其它位置共有_,位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件,例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字 的三位数，其中偶数共有（ ） A.24 B.30 C.40 D.60,分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应

8、优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；,0排在末尾时，有 个； 0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有 个； 由分类计数原理，共有偶数 30 个.,B,小结：1、“在”与“不在”可以相互转化。解决某些元素在某些位置上用“定位法”，解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解。,2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏”现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案,基本方法 (二) 相邻相间问题,1.相邻元素捆绑策略,例：7人站成一排 ,其

9、中甲乙相邻且丙丁相 邻, 共有多少种不同的排法.,解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。,要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用 捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并 为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时 要注意合并元素内部也必须排列.,2.不相邻问题插空策略,例：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个 独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？,解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共 有 种，,元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端,

10、（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？,（2）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？,捆绑法：,插空法：,（3）(2005 辽宁)用、 组成没有重复数字的八位数，要求与相邻，与相邻，与相邻，而与不相邻，这样的八位数共有_个（用数字作答）,练 习,(3)(2005 辽宁)用、 组成没有重复数字的八位数，要求与相邻， 与相邻，与相邻，而与不相邻， 这样的八位数共有_个（用数字作答）,将与，与，与捆绑在一起排成一列 有 种，再将、插入4个空位中的两个 有 种，故有 种,（4）七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同

11、的排法有（ ）种 960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种,解：,另解：,（5）某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ）,20,小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.,回目录,定序问题倍缩、空位、插入策略,基本方法 (三) 定序问题,定序问题倍缩、空位、插入策略,例：7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法,解:,(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起

12、进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是：,（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外 的四人就坐共有 种方法，其余的三个 位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种 方法,1,思考:可以先让甲乙丙就坐吗?,（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再 把其余4四人依次插入共有 方法,4*5*6*7,定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插 空模型处理,练习题,10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？,练习：期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?,结论 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定

13、是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.,基本方法 (四) 分房问题,又名：住店法，重排问题求幂策略,例： 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）,A. B. C D.,分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得 种。,注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？,用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。,回目录,某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,下电梯的方法 （ ）,练习题,回目录,基本方法 (五) 环排

14、问题和多排问题,环排问题线排策略,例1. 5人围桌而坐,共有多少种坐法?,解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其余4人共有_ 种排法即,（5-1)！,一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有,练习题,6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？,60,多排问题直排策略,例2.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在 前排,丁在后排,共有多少排法,解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以 把椅子排成一排.,一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.,回目

15、录,有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是_,346,练习题,基本方法 (六) 小集团问题,小集团问题先整体局部策略,例：计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画, 幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两 端，那么共有陈列方式的种数为_,练习： 5男生和女生站成一排照像,男生相 邻,女生也相邻的排法有_种,基本方法 (七) 元素相同问题隔板策略,1.应用背景：相同元素的名额分配问题。,2.隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一个。,元素相同问题隔板策略,例.有10个运动员名额，分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？,解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成个空隙。,在个空档中选个位置插个隔板， 可把名额分成份，对应地分给个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有_种分法。,将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为,例 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?,解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个