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1、数学第三册(选修I),第二章导数,导数的应用,复习,1 、 某点处导数的定义,这一点处的导数即为这一点处切线的斜率,2 、 某点处导数的几何意义,3 、 导函数的定义,4、由定义求导数的步骤(三步法),5、 求导的公式与法则,如果函数 f(x)、g(x) 有导数,那么,6、 求导的方法,定义法,公式法,练习:,1、求下列函数的导数,(1)y=(x2-3x+2)(x4+x2-1) (2)y=(x/2+t)2,2、设f(x)=ax3-bx2+cx,且f (0)=0, f (1)=1,f (2)=8,求a、b、c,3、抛物线f(x)=x2-2x+4在哪一点处的切线平行于x轴?在哪一处的切线与x轴的交
2、角为450?,1、确定函数f(x)=x24x+3在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?,引例,在(-,2)上是减函数;,在(2,+)上是增函数。,2、确定函数f(x)=2x36x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?,引例,用定义法判断函数单调性的步骤:,(1)在给定的区间内任取x1x2; ( 2 ) 作差f(x1)-f(x2)并变形; (3)判断符号; (4)下结论。,单调性定义讨论函数单调性是根本,但有时十分麻烦,尤其是在不知道函数图象时,如: f(x)=2x36x2+7。 这就需要我们寻求一个新的方法。,发现问题,引入: 函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情
3、况, 而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢?,研究函数二次y=x24x3的图象;,探究,观察三次函数y=x3的图象;,观察某个函数f(x)的图象。,观察一次函数y=kx+1的图象;,若函数在区间(a,b)内单调递增,我们发现在(a,b)上切线的斜率为正,即 在(a,b)内的每一点处的导数值为正,若函数在区间(a,b)内单调递减,发现在(a,b)上切线的斜率为负,即在(a,b)内的每一点处的导数值为负,,分析:从图形看,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在这个区间内y0,那么y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内
4、y0,那么y=f(x)为这个区间内的减函数.,判断函数单调性的常用方法: (1)定义法 (2)导数法,结论:,y0,增函数,y0,减函数,定理: 一般地,函数yf(x)在某个区间内可导: 如果恒有 ,则 是增函数。 如果恒有 ,则 是减函数。 如果恒有 ,则 是常数。,注意:函数y=f(x)在某个区间内为常数,当且仅当f(x)=0在该区间内恒成立时,否则可能使f(x)=0的点只是“驻点”(曲线在该点处的切线与x轴平行),实际上,若在某区间上有有限个点使f(x)=0,在其余的点恒有f(x)0,则f(x)仍为增函数(减函数的情况完全类似),例如: 函数f(x)=x3在(-,+)内,当x=0时, f
5、(x)=0, 当x0时, f(x)=3x20, y=f(x)在(-,+)内为增函数,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小和作图并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.,知识提炼,一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果在这个区间内f(x)0, 则f(x)为这个区间内的增函数; 如果在这个区间内f(x)0, 则f(x)为这个区间内的减函数. 注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0, 则f(x)为常数函数。,判断方法,研究数学问题的一般方法: 从特殊到一般;从简单到复杂。,结论应用:由以上结论可知,函数的单调性与其导数有关,因此今后我们可以利
6、用导数法去探讨函数的单调性下面举例说明:,例题讲解,解题步骤: 1、求函数的导函数; 2:判断导函数在指定区间上的符号; 3、下结论。,例1、求证:函数y=x3+1在 上是增函数。,根据导数确定函数的单调性一般需三步: 1.确定函数f(x)的定义域; 2.求出函数的导数; 3.解不等式f (x)0,得函数单增区间; 解不等式f(x)0,得函数单减区间。,例2、确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?,例1、确定函数y=2x3-6x2+7的单调区间,用导数法确定函数的单调性时的步骤是: (1)求出函数的导函数 (2)求解不等式f (x)0,求得其解集, 再根
7、据解集写出单调递增区间 (3)求解不等式f(x)0,求得其解集, 再根据解集写出单调递减区间,注、单调区间不 以“并集”出现。,导数的应用一、判断单调性、求单调区间,课堂练习,1、确定下列函数的单调区间。,单调增区间为:(4,+)和(-,2),单调减区间为:(2,4),单调增区间为:(-1,1),单调减区间为:(-,-1)和(1,+),课堂练习,2,设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=/(x)的图象如左图所示,则y=(x)的图象最有可能的是( ),1.函数导数与单调性的关系: 若函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f (x)0, 则f(x)为增函数; 如果f(x)0, 则f(x)为减函
8、数。 2.本节课中,用导数去研究函数的 单调性是中心,能灵活应用导数解 题是目的,另外应注意数形结合在 解题中应用。 3.掌握研究数学问题的一般方法: 从特殊到一般;从简单到复杂。,课堂总结,1:能不能画出该函数的草图?,思考题,函数f(x)=2x36x2+7,作业布置,课堂作业:课本p42习题2.4 1,2,课外作业:,已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;,函数的极值与导数,【复习与思考】,(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义, (1)如果在x=x0处的函数值比它
9、附近所有各点的函数值都大,即f(x)f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0),【函数极值的定义】,(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小,即f(x)f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0),极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.,(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况;,(2)极值点是自变量的值,极值指的是函数值;,(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;,【关于极值概念的几点说明】,(4)函数的极值点一定在区间的内部,
10、区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得,也可能在区间的端点取得。,【问题探究】,函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?,(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)0 右侧f /(x0)0, 那么f(x0)是极大值,【函数的极值与导数的关系】,(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x0)0, 那么f(x0)是极小值,(1) 求导函数f (x); (2) 求解方程f (x)=0; (3) 检查f (x)在方程f (x)=0的根的左右 的符号,并根据符号确定极大值与极小值.,口诀:左负右正为极
11、小,左正右负为极大。,用导数法求解函数极值的步骤:,例题: 求函数 的极值.,【课堂练习】课本P42,例2:求函数 的极值.,【思考交流】,导数值为0的点一定是函数的极值点吗?,对于可导函数而言,其极值点一定是导数为0的点,反之导数为0的点不一定是函数的极值点.因此:导数值为0的点是该点为极值点的必要非充分条件.,一、复习: 1、 ; 2、 3、求y=x327x的 极值。,导数的应用之三、求函数最值.,在某些问题中,往往关心的是函数在整个定义域区间上,哪个值最大或最小的问题,这就是我们通常所说的最值问题.,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个
12、最小值,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤:,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),表格法,发现图中_是极小值,_是极大值,在区间上的函数的最大值是_,最小值是_,一是利用函数性质,二是利用不等式 三是利用导数,注:,求函数最值的一般方法:,在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤: 1、函数 在内有导数 ; 2、求函数 在内的极值 3、将函数在内的极值与比较,其中最大的一个为最大值 ,最小的一个为最小值,例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间1,5内 的最大值和最小值,法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方,利用二次函数单调性处理,例1、求函数f(x)
13、=x2-4x+6在区间1,5内 的极值与最值,故函数f(x) 在区间1,5内的极小值为3, 最大值为11,最小值为2,法二、,解、 f (x)=2x-4,令f (x)=0,即2x-4=0,,得x=2,-,+,3,11,2,课本练习,例1、求 函数在区间 上的最大值与最小值。,解:先求导数得, 令 0即 解得 导数 的正负以及 ,如下表,从上表知,当 时,函数有最大值13,当 时,函数有最小值4,在日常生活中,常常会遇到什么条件下可以使材料最省,时间最少,效率最高等问题,这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。,例2用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱,先在四个角分别截去一个小正方形
14、,然后把四边翻转90角,再焊接而成,问水箱底边的长取多少时,水箱容积最大,最大容积是多少?,例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C1004P,价格R与产量P的函数关系为R250.125P,求产量P为何值时,利润L最大。,四、小结: 1、闭区间上的连续函数一定有最值;开区间内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值。 2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个。 3、在解决实际应用问题中,关键在于建立数学模型和目标函数;如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值
15、进行比较。,思考、已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间1,5内的最小值为2,求m的值,导数,导数的定义,求导公式与法则,导数的应用,导数的几何意义,多项式函数的导数,函数单调性,函数的极值,函数的最值,基本练习,1、曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1,0)处的切线的斜率为( ) (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8,2、函数y=x100+2x50+4x25的导数为( ) y=100(x99+x49+x24) (B) y=100 x99 (C) y=100 x99+50 x49+25x24 (D) y=100 x99+2x49,3、已知过曲线y=x3/3上点P的切线方程
16、为12x-3y=16,则点P的坐标为 .,4、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( ) (A) (-1,1) (B) (1,2) (C) (-,-1) (D) (-,-1) ,(1, +),5、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( ),则a的取值范围为( ) (A) a0 (B) 11 (D) 0a1,6、当x(-2,1)时,f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增,部分单调减 (D) 单调性不能确定,7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1,则在一小段时间2,2+t中相应的平均速度等于( ) (A) 8+2t (B) 4+2t (C)