《高三数学专题复习 导数的应用 人教》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学专题复习 导数的应用 人教（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数的应用 （1）曲线的切线,1.导数的几何意义,函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 .,故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是:,例1:如图,已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,（1）点处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是 y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,练习1：P343 3，9 P345 1，2,函数的应用 （2）函数的单调性,f (x)0,f (x)0,定义:
2、一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在 这个区间内 0,那么函数y=f(x) 为在这个区间内 的增函数;如果在这个区间内 0,那么函数y=f(x) 为在这个区间内的减函数.,1用导数求函数的单调性的结论:,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,2，利用导数讨论函数单调的步骤:,(2):求导数,(3)解不等式 0得f(x)的单调递增区间; 解不等式 0得f(x)的单调递减区间.,（1）先求函数的定义域,故f(x)在(-,1)和 (3,+)内是增函数, 在(1,3)内是减函数.,而我们可以从右边的 函数的图象看到上面的结论是正确的.,例2:讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调
3、性.,解:f (x)=3x2-12x+9,令3x2-12x+90,解得x3或x1,因此,当 或 时, f(x)是增函数.,令3x2-12x+90,解得1x3,因此,当 时, f(x)是减函数.,解:函数的定义域是(-1,+),f(x)=x/2-ln(1+x)+1,由 即 得x1.,注意到函数的定义域是(-1,+),故f(x)的递增区间是(1,+);,由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与 定义域求两者的交集.,练习2:确定下面函数的单调区间
4、:,练习2 P345 4，5 P347 3，4，7,函数的应用 （3）函数的极值,1，函数的极值的定义:,一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.,请注意以下几点:,(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.,(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上或定义域内极大值
5、或极小值可以不止一个.,(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)f(x1).,一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:,(1):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极大值;,(2):如果在x0附近的左侧 右侧 那么, f(x0)是极小值.,总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:,(1).求导数,(2).求方程 的根.,(3)检查 在方程根左右的值的符号,如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左正右负,那 么f(x)在这个根处取得极大值.
6、,例3:求y=x3/3-4x+4的极值.,解:,令 ,解得x1=-2,x2=2.,当x变化时, ,y的变化情况如下表:,因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.,练习3，P348 1，2， P350 2，4,导数的应用 （4）函数的最值,设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则求f(x) 在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);,:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.,求函数的最值时,应注意以下几点
7、:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概 念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围 内讨论问题,是一个整体性的概念.,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内 的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极 值必是函数的最值.,例4:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小 值.,解:,令 ,解得x=-1,0,1.,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,练习:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间-3,4上的最 大值和最小值.,答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.,练习4 P350 1，6，7，8，,四、小结,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的 最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未 必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不 要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值 和f(a)、f(b)放在一起比较.,
