《高中数学人教A浙江一轮参考课件63等比数列及其前n项和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A浙江一轮参考课件63等比数列及其前n项和（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.3等比数列及其前n项和,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q0)表示.数学语言表达式: ,q为常数. (2)等比中项 如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2=ab.,-4-,知识梳理,双击自测,2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列an的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1;可推广为an=amqn-m. (2
2、)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1; 当q1时,-5-,知识梳理,双击自测,3.等比数列及其前n项和的性质 (1)若an为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=aman. 特别地,若2m=p+q,则 2 =apaq(p,q,m,nN*). (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm. (3)当q-1或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为qn. (4)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),-6-,知识梳理,双击自测,4.等比数列与函数的关系 (1)
3、an=a1qn-1可变形为an=Aqn,其中A=; 点(n,an)是曲线上一群孤立的点. (2)Sn可变形成Sn=Bqn-B(q1),其中B= ,(n,Sn)是曲线上一群孤立的点.,(3)对于一个确定的等比数列,在通项公式an=a1qn-1中,an是n的函数,这个函数由正比例函数 u和指数函数u=qn(nN*)复合而成. 当a10,q1或a10,01时,等比数列an是递减数列; 当q=1时,它是一个常数列; 当q0时,它是一个摆动数列.,-7-,知识梳理,双击自测,1.对任意等比数列an,下列说法一定正确的是() A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a
4、8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列 2.设an是公比为q的等比数列,则“q1”是“an为递增数列”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,D,解析:根据等比数列的性质,若m+n=2k(m,n,kN*),则am,ak,an成等比数列,故选D.,D,解析:等比数列an为递增数列的充要条件为,故“q1”是“an为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.,-8-,知识梳理,双击自测,3.等比数列an的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是. 4.在等比数列an中,已知a5-a1=15,a4-a2=6,若公比q1,则a3=
5、. 5.已知a0,且a1,则(a+1)+(a2+2)+(an+n)= .,211,4,解析:由已知条件,得a1(q4-1)=15,a1q(q2-1)=6, 两式相除得2q2-5q+2=0,解得q=2或 (舍去). 将q=2代入a1q(q2-1)=6,得a1=1,所以a3=a1q2=4.,解析:当a0,且a1时,-9-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列的首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值. 2.由an+1=qan,q0,并不能立即判断an为等比数列,还要验证a10. 3.在运用等比数列的前n项和公式时,如果不能确定q与1的关系,必须
6、分q=1和q1两种情况讨论.,-10-,等比数列的基本量求解(考点难度) 例1(1)(2016浙江宁波二模)已知等比数列an满足a2= , a2a8=4(a5-1),则a4+a5+a6+a7+a8= () A.20B.31C.62D.63 (2)在等比数列an中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值为.,B,考点一,考点二,考点三,-11-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求解. 2.解决此类问题,有时需要运用整体代换思想来简化运算过程. 3.应用等比数列的前n项和公式时,必须注意对公比q=1与q1的
7、情况进行分类讨论.,-12-,B,B,考点一,考点二,考点三,-13-,考点一,考点二,考点三,等比数列的判定与证明(考点难度) 例2(2016全国高考丙卷)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0. (1)证明an是等比数列,并求其通项公式;,-14-,考点一,考点二,考点三,-15-,考点一,考点二,考点三,方法总结证明数列an是等比数列常用的方法:一是定义法,证明 (n2,q为常数);二是等比中项法,证明 2 =an-1an+1.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.,-16-,考点一,考点二,考点三,对点训练数列an的前n项和为Sn,且首项a13,an
8、+1=Sn+3n(nN*). (1)求证:Sn-3n是等比数列; (2)若an为递增数列,求a1的取值范围.,-17-,考点一,考点二,考点三,-18-,考点一,考点二,考点三,等比数列性质的应用(考点难度) 考情分析等比数列的性质是高考的热点之一,很多题目利用等比数列的基础知识也能解决,但计算量比利用等比数列的性质解决偏大,主要类型有考查等比数列项的性质和考查等比数列和的性质.,-19-,考点一,考点二,考点三,类型一等比数列项的性质的应用 例3(2016甘肃张掖一模)等比数列an的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=() A.5B.9C.
9、log345D.10,D,解析:由等比数列的性质知a5a6=a4a7, 又a5a6+a4a7=18,所以a5a6=9, 则原式=log3(a1a2a10)=log3(a5a6)5=10.,C,-20-,考点一,考点二,考点三,类型二等比数列和的性质的应用 例4设等比数列an的前n项和为Sn,若S4=8,S8=12,则a13+a14+a15+a16=.,1,-21-,考点一,考点二,考点三,对点训练设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3等于() A.12B.23 C.34D.13,C,解析:由等比数列的性质知S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列, 于是(S6-S3)2=
10、S3(S9-S6),-22-,考点一,考点二,考点三,类型三等比数列的综合性质 例5设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.,64,-23-,考点一,考点二,考点三,对点训练若数列an是正项递减等比数列,Tn表示其前n项的积,且T8=T12,则当Tn取最大值时,n的值等于() A.9B.10C.11D.12,B,解析:T8=T12,a9a10a11a12=1, 则a9a12=a10a11=1,且数列an是正项递减数列, a9a101a11a12,因此T10取最大值.故选B.,-24-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.等比数列项的性质主要有: (1)通项公式
11、的推广:an=amqn-m; (2)等比中项的推广与变形: 2 =am-nam+n(mn)及akal=aman (k+l=m+n);等比数列和的性质主要是Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列. 2.利用等比数列的性质可以减少运算量,提高解题速度.解题时,根据题目条件,分析具体的变化特征,即可找到解决问题的突破口.,-25-,思想方法分类讨论思想在等比数列中的应用 每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的使用也往往有其适用范围,在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究.分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有
12、: 已知Sn与an的关系,要分n=1,n2两种情况. 等比数列中遇到求和问题要分公比q=1,q1讨论. 项数的奇、偶数讨论. 等比数列的单调性的判断注意与a1,q的取值的讨论.,-26-,典例(2016浙江宁波模拟考试)设数列an为等比数列,数列bn满足bn=na1+(n-1)a2+2an-1+an,nN*,已知b1=m, ,其中m0. (1)求数列an的通项公式(用m表示); (2)设Sn为数列an的前n项和,若对于任意的正整数n,都有Sn1,3,求实数m的取值范围.,-27-,-28-,高分策略1.判定等比数列的方法,2.求解等比数列问题常用的数学思想 (1)方程思想:如求等比数列中的基本量; (2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论. 3.求解等比数列的问题,要注意等比数列性质的应用,以减少运算量.,
