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1、6.2等差数列及其前n项和,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.等差数列的有关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.数学语言表示为an+1-an=d(nN*,d为常数). (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a,b的等差中项. 2.等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列an的首项是a1,公差是d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d,可推广为an=am+(n-m)d. (2)等差数列的前n项和公式,-4-,知识梳理,双击
2、自测,3.等差数列及其前n项和的性质 (1)若an为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*). 特别地,当m+n=2p,则am+an=2ap. (2)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是等差数列. (3)若Sn是等差数列an的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列. (4)若an,bn是等差数列,则pan+qbn也是等差数列.,-5-,知识梳理,双击自测,4.等差数列与函数的关系 (1)等差数列与一次函数的关系 等差数列通项公式an=a1+(n-1)d可变形为an=dn+a1-d的形式.当d0时,a
3、n是关于n的一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0,d0,则Sn存在最小值.,-6-,知识梳理,双击自测,1.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于() A.58B.88C.143D.176 2.(2016全国高考乙卷)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=() A.100B.99C.98D.97,B,C,-7-,知识梳理,双击自测,3.(2015浙江学考)已知an是以1为首项,2为公差的等差数列,设Sn是an的前n项和,且Sn=25,则n=() A.3B.4C.5D.6 4.在等差数列an中,a1=12,a6=27,则a10=. 5.在等
4、差数列an中,a1+a5=4,a2+a6=10,则S6=.,C,39,解析:由题意可知a1=12,d=3,所以a10=39.,21,解析:由题意可知,a1=-4,d=3,所以S6=21.,-8-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”. 2.等差数列与函数的区别:当公差d0时,等差数列的通项公式是n的一次函数;当公差d=0时,an为常数. 3.等差数列解题有利用基本量(a1,d)和应用性质两种基本思想方法.,-9-,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的基本量的求解(考点难度
5、) 例1(1)(2016北京高考)已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=. (2)(2016浙江嘉兴一中期中)已知等差数列an,Sn是数列an的前n项和,且满足a4=10,S6=S3+39,则数列an的首项a1=,通项an=.,6,1,3n-2,解析: (1)an是等差数列,a3+a5=2a4=0.a4=0. a4-a1=3d=-6.d=-2.S6=6a1+15d=66+15(-2)=6. (2)由题意得a1+3d=10,(6a1+15d)=(3a1+3d)+39,所以a1=1,d=3, 所以an=3n-2.,-10-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总
6、结 1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求另外两个,体现了方程思想. 2.等差数列的计算关键是求出两个基本量:首项a1和公差d.,-11-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)已知an是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a5=45,S3+3a6=42,则数列an的通项公式为. (2)(2016江苏高考)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =-3,S5=10,则a9的值是.,2n-1,20,解析: (1)由题中所给两式可得(a1+2d)(a1+4d)=45, (3a1+3d)+(3a1+15d)=42; 解得a1=1,
7、d=2,所以an=2n-1. (2)由S5=10得a3=2,因此2-2d+(2-d)2=-3d=3,a9=2+36=20.,-12-,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的判定与证明(考点难度) 例2(1)(2016浙江高考)如图,点列An,Bn分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,AnAn+2,nN*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|, BnBn+2,nN*.(PQ表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为AnBnBn+1的面积,则(),A,-13-,考点一,考点二,考点三,考点四,-14-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)(2016浙江十校联
8、合体)已知数列an满足a1a2an=1-an, nN*.证明: 是等差数列,并求数列an的通项公式.,-15-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结 1.等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列. 2.用定义证明等差数列时,常采用的两个式子是an+1-an=d和an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n2”. 3.若证明一个数列不是
9、等差数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法.,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)若an是公差为1的等差数列,则 是() A.公差为3的等差数列B.公差为4的等差数列 C.公差为6的等差数列D.公差为9的等差数列,C,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,-18-,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的性质的应用(考点难度) 例3(1)等差数列an满足:a4+a6+a8+a10+a12=20,A.1B.2C.3D.4 (2)(2015浙江金华期中)若an为等差数列,Sn是其前n项和,且S15=10,则tan a8的值为(),B,B,-19-,考点一,考点二,考点三
10、,考点四,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练已知等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=.,45,解析:an为等差数列,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列. 2(S6-S3)=S3+(S9-S6). a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.,-21-,考点一,考点二,考点三,考点四,等差数列的前n项和及其最值(考点难度:) 例4(1)(2016浙江温州二模)已知等差数列an的公差为-3,且a3是a1和a4的等比中项,则通项an=,数列an的前n项和Sn的最大值为. (2)在等差数列an中,已知a10
11、,前n项和为Sn,且有S3=S11,当Sn取得最大值时,n=. (3)在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.,-3n+15,30,7,-22-,考点一,考点二,考点三,考点四,解析: (1)由题意可得(a1-6)2=a1(a1-9),解得a1=12, an=12+(n-1)(-3)=-3n+15, 令an=-3n+150,解得n5,(2)因为S3=S11,所以a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=4(a7+a8)=0,所以a70,a80,数列an中所有非负项的和最大. 又当且仅当n=8时,Sn取最大值,-23-,考
12、点一,考点二,考点三,考点四,方法总结 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 (1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看做二次函数,根据二次函数的性质求最值. (2)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项.,-24-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(1)(2015浙江温州八校联考)已知数列an是等差数列,若a9+3a110,a10a110,且数列an的前n项和Sn有最大值,那么Sn取得最小正值时n等于() A.20B.17 C.19D.21,C,A,-25-,考点一,考点二,考点三,考点四,解析: (1)因为和有最大值,所以首项大于0,且公差小
13、于0, 因为a9+3a11=2(a10+a11)0,a110,S20=10(a1+a20)=10(a10+a11)0, 所以S19满足题意.,-26-,思想方法方程思想和函数思想在等差数列中的应用 方程思想和函数思想是等差数列中常用的两种思想方法.等差数列两个基本量是首项a1和公差d,项与和都可以化归成这两个基本量的方程;等差数列的通项an是关于n的一次函数,等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数,所以利用函数思想研究等差数列的性质和最值常常事半功倍.,-27-,典例方程思想:(1)(2015浙江衢州质检)已知等差数列an的前n项和为Sn,a2+5=2a4,a10=-3,则a1=,S8=. 函数思想:(2)(2015浙江嵊州质检)设等差数列an的前n项和为Sn,若a10,3a8=5a13,则Sn中最大的是() A.S10B.S11C.S20D.S21 答案:(1)1564(2)C,-28-,-29-,高分策略1.掌握等差数列的性质; 2.善于利用方程思想和函数思想去思考等差数列中的问题.,
