《高中数学人教A浙江一轮参考课件32导数与函数的单调性极值最值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A浙江一轮参考课件32导数与函数的单调性极值最值（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2导数与函数的单调性、极值、最值,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.函数的单调性与导数,注意:如果在某个区间内恒有f(x)=0,那么函数f(x)在这个区间上是.,递增,递减,0,0,常数函数,-4-,知识梳理,双击自测,2.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, 如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 求f(x); 求方程的根; 检查f(x)在方程的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得;如果左负右正,那
2、么f(x)在这个根处取得.,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,f(x)=0,极大值,极小值,-5-,知识梳理,双击自测,3.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值:在闭区间a,b上连续的函数f(x),在a,b上有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x)有最大值与最小值. (2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: 求f(x)在(a,b)内的值; 将f(x)的各值与比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,必,不一定,极,极,f(a),f(b),-
3、6-,知识梳理,双击自测,1.关于函数的极值,下列说法正确的是() A.导数为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.f(x)在定义域内最多只能有一个极大值,一个极小值 D.若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数,D,解析:导数为0的点不一定是极值点(如y=x3,在x=0处),而极值点的导数一定为0.极值是局部概念,因此极小值可能有多个且有可能大于极大值.极值点是单调性的转折点.故选D.,-7-,知识梳理,双击自测,B,-8-,知识梳理,双击自测,3.已知函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示
4、,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点() A.1个B.2个C.3个D.4个,A,解析:导函数f(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个,故选A.,-9-,知识梳理,双击自测,5.若函数f(x)=x3+ax-2在(1,+)上是增函数,则实数a的取值范围是.,B,-3,+),解析:f(x)=3x2+a,且f(x)在区间(1,+)上是增函数, 则f(x)=3x2+a0在(1,+)上恒成立, 即a-3x2在(1,+)上恒成立.故a-3.,-10-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.“f(x)0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不
5、必要条件. 2.对于可导函数f(x),“f(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件. 3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值. 4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.,-11-,考点一,考点二,考点三,利用导数研究函数的单调性(考点难度) 例1函数f(x)=ax3+3x2+3x(a0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)在区间(1,2)上是增函数,求a的取值范围.,-12-,考点一,考点二,考点三,解:(1)f(x)=3ax2+6x+3,f(
6、x)=0的判别式=36(1-a). 若a1,则f(x)0,且f(x)=0当且仅当a=1,x=-1. 故此时f(x)在R上是增函数. 由于a0,故当a1时,f(x)=0有两个根:,若00, 故f(x)分别在(-,x2),(x1,+)上是增函数; 当x(x2,x1)时,f(x)0,故f(x)在(x1,x2)上是增函数.,-13-,考点一,考点二,考点三,(2)当a0,x0时,f(x)=3ax2+6x+30, 故当a0时,f(x)在区间(1,2)上是增函数. 当a0时,f(x)在区间(1,2)上是增函数,-14-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.导数法求函数单调区间的一般流程: 求定义域求导数f
7、(x)求f(x)=0在定义域内的根用求得的根划分定义区间确定f(x)在各个开区间内的符号得相应开区间上的单调性 提醒 当f(x)不含参数时,也可通过解不等式f(x)0(或f(x)0时为增函数;当f(x)0”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件.,-15-,考点一,考点二,考点三,令f(x)=0,得ex=1或ex=2,即x=0或x=ln 2. 令f(x)0,得xln 2;令f(x)0,得0xln 2. f(x)的递增区间是(-,0),(ln 2,+);递减区间是(0,ln 2).,-16-,考点一,考点二,考点三,-17-,考点一,考点二,考点三,利用导数研究函数的极值(考点难度
8、) 例2(2016山东高考)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,aR. (1)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间; (2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.,-18-,考点一,考点二,考点三,(2)由(1)知,f(1)=0. 当a0时,f(x)单调递增, 所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.,-19-,考点一,考点二,考点三,-20-,考点一,考点二,考点三,方法总结利用导数研究函数的极值的一般流程:,提醒 导函数的零点并不一定就是函数的极值点,即“f(x0)=0”是“可导函数f(x)在x0处
9、取得极值”的必要不充分条件.,-21-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知函数 (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)若对于任意的x1(2,+),都存在x2(1,+),使得f(x1)f(x2)=1,求a的取值范围.,-22-,考点一,考点二,考点三,-23-,考点一,考点二,考点三,-24-,考点一,考点二,考点三,-25-,考点一,考点二,考点三,利用导数研究函数的最值(考点难度) 例3已知函数f(x)=x3+3|x-a|(a0).若f(x)在-1,1上的最小值记为g(a). (1)求g(a); (2)证明:当x-1,1时,恒有f(x)g(a)+4.,-26-,考点一,考点二,考点三,
10、(1)解:因为a0,-1x1,所以 当00, 故f(x)在(a,1)上是增函数.所以g(a)=f(a)=a3. 当a1时,有xa,则f(x)=x3-3x+3a,f(x)=3x2-30. 故f(x)在(-1,1)上是减函数,所以g(a)=f(1)=-2+3a.,-27-,考点一,考点二,考点三,(2)证明:令h(x)=f(x)-g(a), 当00.知t(a)在(0,1)上是增函数.所以,t(a)t(1)=4,即h(-1)4.故f(x)g(a)+4. 当a1时,g(a)=-2+3a,故h(x)=x3-3x+2,得h(x)=3x2-3,此时h(x)在(-1,1)上是减函数,因此h(x)在-1,1上的
11、最大值是h(-1)=4.故f(x)g(a)+4. 综上,当x-1,1时,恒有f(x)g(a)+4.,-28-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 2.若函数中含有参数,要具有分类讨论的思想意识.,-29-,考点一,考点二,考点三,-30-,考点一,考点二,考点三,-31-,考点一,考点二,考点三,-32-,思想方法分类讨论思想在导数中的应用 分类讨论思想是高中数学中重要的思
12、想方法.在用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题时,常常会产生是否存在极值点不确定,极值点和区间端点位置关系不确定,极值大小和区间端点大小关系不确定等情况.在解题过程中需要对上述情况进行有序有层次的讨论.,-33-,典例已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间0,1上的最小值. 解:(1)由题意知f(x)=(x-k+1)ex. 令f(x)=0,得x=k-1. f(x)与f(x)的情况如下:,所以,f(x)的单调递减区间是(-,k-1),单调递增区间是(k-1,+).,-34-,(2)当k-10,即k1时,f(x)在0,1上单调递增, 所以f(x
13、)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k. 当0k-11,即1k2时, f(x)在0,k-1上单调递减,在k-1,1上单调递增, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1. 当k-11,即k2时,f(x)在0,1上单调递减, 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e. 综上,当k1时,f(x)在0,1上的最小值为f(0)=-k; 当1k2时,f(x)在0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1; 当k2时,f(x)在0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e.,-35-,方法总结用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题 第一步:(求导数)求函
14、数f(x)的导数f(x); 第二步:(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值; 第三步:(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值; 第四步:(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值; 第五步:(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.,-36-,高分策略1.注意定义域优先的原则,求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3.一个函数在其定义域内最值是唯一的,可以在区间的端点取得. 4.解题时,要注意区分求单调性和已知单调性的问题,处理好f(x)=0时的情况,正确区分极值点和导数为0的点.,
