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1、2.9函数模型及其应用,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.常见的几种函数模型,-4-,知识梳理,双击自测,2.三种增长型函数之间增长速度的比较,递增,递增,递增,y轴,x轴,logaxxnax,-5-,知识梳理,双击自测,3.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:,-6-,知识梳理,双击自测,1.在某种新型材料的研制中,
2、实验人员获得了下列一组实验数据:,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是() A.y=2x-2B. C.y=log3xD.y=2x-2,B,解析:将表格中数据代入选项验证可知,最接近的一个函数是 ,故选B.,-7-,知识梳理,双击自测,2.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过 () A.12小时B.4小时C.3小时D.2小时 3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(),C,解析:由题意知24t=4 096,即16t=4 096
3、,解得t=3.,D,解析:设第一年年初生产总值为1, 则这两年的生产总值为(p+1)(q+1). 设这两年生产总值的年平均增长率为x,则(1+x)2=(p+1)(q+1),-8-,知识梳理,双击自测,4.函数y=0.25x,y=log2x+1,y=1.002x,随着x的增大,增长速度的大小关系是 . 5.有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积为(围墙厚度不计).,y=1.002xy=0.25xy=log2x+1,2 500 m2,-9-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.三种基本
4、初等函数增长的快慢是不同的,存在一个x0,当xx0时,有logaxxnax. 2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.,-10-,考点一,考点二,考点三,一次函数与二次函数模型(考点难度) 例1(2016山东潍坊模拟改编)某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:,根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系, Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt. 利用你选取的函数, (1)求函数的解析式. (2)西红柿最合理的上市
5、天数是第几天? (3)最低种植成本是多少?,-11-,考点一,考点二,考点三,解:(1)根据表中数据可知函数不单调,所以Q=at2+bt+c且开口向上,所以函数的解析式是Q=0.01t2-2.4t+224. (2)由(1),知Q=0.01(t-120)2+80, 所以西红柿种植成本最低时上市是第120天. (3)由(2),知当t=120时,Qmin=80.故最低种植成本是80元/100 kg.,-12-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量系数大于0)或直线下降(自变量系数小于0). 2.有些问题的两变量之间
6、是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图象与单调性解决. 注意 在解决二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.,-13-,考点一,考点二,考点三,对点训练某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(注:利润和投资单位:万元).,(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产. 若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? 问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利
7、润?其最大利润约为多少万元?,-14-,考点一,考点二,考点三,-15-,考点一,考点二,考点三,分段函数模型师生互动探究 例2(2016吉林长春模拟)某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测: 服药后每毫升血液中的含药量y(g)与时间t(h)之间的关系近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t). (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25 g时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.,-16-,考点一,考点二,考点三,-17-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系
8、式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数. 2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.,-18-,考点一,考点二,考点三,对点训练中共十八届三中全会提出要努力建设社会主义文化强国.为响应中央号召.某市2016年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天计),民族文化旅游人数f(x)(万人)与时间x(天)的函数关系近似满足 ,人均消费g(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足g(x)=104-|
9、x-23|. (1)求该市旅游日收益p(x)(万元)与时间x(1x30,xN*)的函数关系式; (2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.,-19-,考点一,考点二,考点三,-20-,考点一,考点二,考点三,-21-,考点一,考点二,考点三,指数型、对数型函数模型师生互动探究 例3某种空气清洁剂在实验效果时,发现空气含剂量y(g/m3)与时间x之间存在函数关系,其变化的图象如图所示.其中的曲线部分是某函数 的图象(虚线部分为曲线的延展).图中表明,喷洒1小时后,空气含剂量最高,达到3 g/m3,以后逐渐减小. (1)求出空气含
10、剂量y关于时间x的函数表达式及定义域; (2)实验证明,当空气含剂量不低于2 g/m3时,空气清洁的效果最佳.求一次喷洒的“最佳效果”持续时间.,-22-,考点一,考点二,考点三,-23-,考点一,考点二,考点三,-24-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”. 2.对数型函数模型,即y=mlogax+n(a1,m0)型,增长特点是随着自变量的增加,函数值增加得越来越慢. 3.实际生产生活中的增长率问题往往是指数型函数模型,如若某月的产值是
11、b,每月的增长率为a,则第x个月后的产值是b(1+a)x,指数x是以基数所在时间后推所跨过的时间间隔数. 4.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.,-25-,考点一,考点二,考点三,对点训练某公司为了实现年销售利润1 000万元的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.0
12、25x,y=1.003x, ,问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由. (参考数据:1.0035385,e=2.718 28,e8=2 981),解:由题意,符合公司要求的模型需同时满足:当x10,1 000时,函数为增函数;函数的最大值不超过5;yx25%. (1)对于y=0.025x,易知满足,但当x200时,y5,不满足公司的要求; (2)对于y=1.003x,易知满足,但当x538时,y5,不满足公司的要求;,-26-,考点一,考点二,考点三,-27-,1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础. 2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值. 3.解函数应用题的四个步骤: (1)审题;(2)建模;(3)解模;(4)还原. 高分策略1.函数模型应用不当是常见的解题错误.所以,要正确理解题意,选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题中自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结论对实际问题的合理性.,
