《人教高中数学选修44课件23直线的参数方程24渐开线与摆线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教高中数学选修44课件23直线的参数方程24渐开线与摆线（78页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三直线的参数方程 四渐开线与摆线,【自主预习】 1.直线的参数方程 已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为 点M(x,y) 为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参数方程分 别为,y-y0=tan(x-x0),其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=_.,2.圆的渐开线及其参数方程 (1)定义. 把线绕在圆周上,假设线的粗细可以忽略,拉着线头 _,保持线与圆相切,_的轨迹就叫做圆的 渐开线,相应的_叫做渐开线的基圆.,离开圆周,线头,定圆,(2)参数方程. 设基圆的半径为r,圆的渐开线的参数方程是 _,3.摆线及其参数方程 (1)定义. 当一个圆沿着一条定直线_滚动时,圆周上的 _
2、的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫做 _.,无滑动地,一个定点运动,旋轮线,(2)参数方程. 设圆的半径为r,圆滚动的角为,那么摆线的参数方程 是_ (是参数),【即时小测】 1.下列点在直线 (t为参数)上的是() A.(2,-3)B.(-2,3) C.(3,-2)D.(-3,2) 【解析】选D.直线经过点(-3,2),倾斜角为.,2.经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是_.,【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 M到动点P的位移t为参数的参数方程是 (t为参数)即为 (t为参数) 答案: (t为参数),【知识探究】 探究点直线的
3、参数方程、渐近线与摆线 1.直线的参数方程中,参数的几何意义是什么? 提示:设e表示直线向上方向上的单位向量, 当 参数t0时, 与e同向; 当参数t0时, 与e反向;,当参数t=0时,点M0,M重合. 故总有 所以参数t为点M0(x0,y0)到直线上点 M(x,y)的有向线段 的数量(即长度+方向),这就是 参数t的几何意义.,2.直线的参数方程形式唯一吗?如果不唯一,同一直线不同形式的参数方程中的参数都具有相同的几何意义吗?,提示:直线的参数方程形式不唯一,同一直线不同形式 的参数方程中的参数具有不同的意义,甚至不具有明显 的几何意义,如直线x-y=0的参数方程 (t为参数) 中的参数t就
4、不具有明显的几何意义.,【归纳总结】 由直线的参数方程中t的几何意义得出的两个结论 (1)设A,B是直线上任意两点,它们对应的参数分别为tA和tB,则 (2)线段AB的中点所对应的参数值等于,类型一直线的参数方程的形式 【典例】1.化直线l1的普通方程x+ y-1=0为参数方 程,并说明参数的几何意义,说明|t|的几何意义. 2.化直线l2的参数方程 (t为参数)为普通 方程,并求倾斜角,说明|t|的几何意义.,【解题探究】1.典例1中直线的斜率和倾斜角分别是什么? 提示:直线的斜率为 倾斜角为 2.典例2中直线的参数方程是标准形式吗? 提示:不是直线的参数方程的标准形式.,【解析】1.令y=
5、0,得x=1,所以直线l1过定点(1,0). 设直线的倾斜角为, 所以直线l1的参数方程为,t是直线l1上的定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的有向 线段 的数量. 由 ,两式平方相加,得(x-1)2+y2=t2. |t|是定点M0(1,0)到t对应的点M(x,y)的 有向线段 的长.,2.方程组变形为 代入消去参数t,得直线的点斜式方程 可得 倾斜角 普通方程为,两式平方相加,得(x+3)2+(y-1)2=4t2, 所以 |t|是定点M0(3,1)到t对应 的点M(x,y)的有向线段 的长的一半.,【方法技巧】直线参数方程的标准形式应用技巧 (1)已知直线l经过点M0(x0,y0),
6、倾斜角为,点M(x,y)为直线l上任意一点,则直线l的参数方程为 (t为参数),参数t的几何意义是有向线段 的数量, 其中e=(cos,sin). 我们把称为直线l的参数方程的标准形式. 令a=cos,b=sin,则直线参数方程的标准形式可以是 (t为参数,b0,a2+b2=1) ,(2)如果直线的参数方程的一般形式为 可以通过转换,当d0时,令 当d0时,令 就可以把直线的参数方程化为标准形式.,【变式训练】1.(2016成都高二检测)将曲线的参数 方程 (t为参数)化为普通方程为_.,【解析】由参数方程 消去参数t,得 答案:,2.下列参数方程中,哪些是直线的参数方程的标准形式?若是,求出
7、直线经过的起点坐标和倾斜角,若不是参数方程的标准形式,转化为标准形式(其中,t为参数).,【解析】 是直线参数方程的标准形式,其 中,起点坐标为(-1,2), 倾斜角,(2) 不是直线参数方程的标准形式, 令t=-t,得到标准形式的参数方程为 (t为参数),3.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角=120. (1)写出直线l的参数方程. (2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.,【解析】(1)因为直线l过点P(3,4),且它的倾斜角=120, 故直线l的参数方程为 即,(2)方法一:由(1)得 代入x-y+1=0, 得 解得t=0. 故 即交点坐标为(3,4).,方法二:由(1)中直线的
8、参数方程 化为普通方程为 由 解得 故两直线的交点为(3,4).,类型二直线的参数方程的综合题 【典例】(2016合肥高二检测)已知曲线C1: (t为参数),C2: (为参数). (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什 么曲线. (2)若曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|.,【解题探究】(1)如何将参数方程化为普通方程? 提示:消去参数即得曲线的普通方程. (2)如何求线段的长度? 提示:利用直线参数方程的几何意义计算线段长度.,【解析】(1)由曲线C1: 消去参数t,得y=x+4, 所以曲线C1表示一条直线. 由曲线C2: 消去参数得(x+2)2+(y-1)2=1,
9、 所以曲线C2表示以(-2,1)为圆心,1为半径的圆.,(2)方法一:圆心C2(-2,1)到直线x-y+4=0的距离为 所以,方法二:将直线的参数方程C1: (t为参数) 代入曲线C2:(x+2)2+(y-1)2=1, 整理得:t2-3 t+4=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2, 则t1+t2=3 ,t1t2=4, 所以,【延伸探究】 1.若本例条件不变,P在曲线C2上,如何求ABP面积的最大值?,【解析】方法一:由上述得,曲线C2上的点P到直线距离 的最大值为 +1, 所以ABP面积的最大值为S=,方法二:设曲线C2上的点P的坐标为(-2+cos,1+ sin),点P到直线的距离为 所
10、以ABP面积的最大值为,2.若本例条件变为直线C1: (t为参数, 0,)与曲线C2: (为参数)交于 A,B两点,如何求|AB|的最大值?此时直线C2的普通方程 是什么?,【解析】方法一:直线C1: (t为参数, 0,)的普通方程为y=k(x+1),其中k=tan, , 直线经过定点(-1,0),由直线与圆C2:(x+2)2+(y-1)2=1 的位置关系可知,直线经过圆心(-2,1)时,|AB|的最大 值为直径,即|AB|max=2,此时直线的斜率k=-1,= , 直线的普通方程为x+y+1=0.,方法二:将直线C1: (t为参数,0,) 的参数方程代入(x+2)2+(y-1)2=1,整理,
11、得 (1+tcos)2+(tsin-1)2=1, t2+2(cos-sin)t+1=0, 设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-2(cos-sin),t1t2=1, 所以 当= 时,|AB|max=2, 此时直线的斜率k=-1,直线的普通方程为x+y+1=0.,【方法技巧】 1.利用直线的参数方程判断两直线的位置关系 直线l1: 直线l2: (1)l1l2a1b2-a2b1=0(l1与l2不重合). (2)l1l2a1a2+b1b2=0.,2.标准形式的参数方程中参数的应用 经过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为,(1)若P1,P2是直线l上的两个点,对应的参数分
12、别为 t1,t2,则向量 的数量为t2-t1,所以 =|t2-t1|, 若P1,P2是直线l与某圆锥曲线的两个交点,则弦长|P1P2| =|t2-t1|.,(2)若P1P2的中点为P3,且P1,P2,P3对应的参数分别为 t1,t2,t3,则 特别地,若直线l上的两个点 P1,P2的中点为M0(x0,y0),则t1+t2=0,t1t20.,【变式训练】1.(2016南昌高二检测)直线l (t是参数)被圆(x-3)2+(y+1)2=25所截得的弦长为_.,【解析】将直线l的参数方程 (t是参数)化为普通方程,得x+y+1=0, 圆心(3,-1)到直线的距离 直线被圆(x-3)2+(y+1)2=2
13、5所截得的弦长为 答案:,2.(2016江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知直 线l的参数方程为 (t为参数),椭圆C的参数 方程为 (为参数),设直线l与椭圆C相交于A, B两点,求线段AB的长.,【解题指南】将参数方程化为普通方程,联立求出点A,B的坐标.,【解析】直线l方程化为普通方程为 椭圆C方程化为普通方程为 联立得 因此|AB|=,类型三圆的渐开线与摆线 【典例3】1.已知圆的渐开线方程为 (为参数)则该基圆半径 为_.当圆心角=时,曲线上点A的直角坐标 为_.,2.已知一个圆的参数方程为 (为参数)那么 圆的摆线方程中与参数 对应的点A与点 之间的距离为_.,【解题探究】1.
14、题1中怎样求基圆半径及渐开线上一个 点的坐标? 提示:将渐开线的方程化为 (为 参数)的形式,通过观察即可得出基圆半径,将参数值 代入方程求点的坐标.,2.题2中怎样求摆线上两个点间的距离? 提示:利用已知参数的值求出点的直角坐标,利用两点间的距离公式求距离.,【解析】1.圆的渐开线方程变为 (为参数) 即 则基圆的半径为 将=代入上式得,得 则点A的坐标为 答案:,2.根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,那么它的摆线的参数方程为 把 代入参数方程中可得 即 所以 答案:,【方法技巧】 1.圆的渐开线的参数方程 (1)圆的渐开线的参数方程为 ( 为参数) 其中r:基圆半径.:绳子外端运动时绳
15、子上的定点M相对于圆心的张角AOB.,(2)圆的渐开线的参数方程不宜化为普通方程,一是普通方程比较复杂不易理解,二是看不出曲线的坐标所满足条件的含义.,2.摆线的参数方程 摆线的参数方程为 (为参数) 其中r:生成圆的半径,:圆在直线上滚动时,点M绕圆心作圆周运动转过的弧度ABO.,3.将参数的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标,进而可求渐开线或摆线上两点间的距离.,【变式训练】1.已知圆的渐开线的参数方程为 则此渐开线对应基圆的面 积为_,当= 时对应的曲线上的点的坐标为 _.,【解析】将圆的渐开线的参数方程变为 (为参数)则基圆的半径为3,故面积为32=9. 当 时, 得 故 时对应点的坐标为 答案:,2.当 时,求圆的摆线 上对应的点的坐标.,【解析】将 代入 得 故 时摆线上点的坐标为(2-4,4).,自我纠错直线参数方程的标准形式 【典例】(2016保定高二检测)已知直线l的参数方程 是 (t为参数),曲线C的极坐标方程是= 2sin+4cos. (1)求曲线C的直角坐标方程和参数方程. (2)求直线l被曲线C截得的弦长.,【失误案例】,分析解题
