《高中数学人教A选修22课件221直接证明与间接证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A选修22课件221直接证明与间接证明（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2直接证明与间接证明,2.2.1综合法与分析法,1.综合法 (1)综合法定义:利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. (2)综合法的推理过程:PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ. 其中,P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论. (3)综合法证明的特点: 综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件. 综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理和运算法则,通过演绎推理,一步一步完成命题的证明.,A.间接证明的方法 B.综合法 C.分析法 D.综合法与分析法结合的方
2、法 解析:该证明过程采用了综合法的证明方法. 答案:B,2.分析法 (1)分析法的定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等),这种证明方法叫做分析法. (2)分析法的推理过程: QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件 (3)分析法证明的特点: 分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件. 分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.,做一做2用分析法证明时,欲证MN,只需证CD,此时,是的()
3、 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立,即,故是的必要条件. 答案:B,3.综合法与分析法的综合应用 (1)综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方法各有优缺点,分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较烦琐;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便于思考.在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,即可证明结论成立. (2)用P表示已知条件、定义、定理
4、、公理等,用Q表示要证明的结论,则上述过程可用框图表示为:,做一做3关于综合法和分析法的说法错误的是() A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B.综合法又叫顺推证法或由因导果法 C.综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法 D.分析法又叫逆推证法或执果索因法 解析:综合法是由因导果,分析法是执果索因,故选项C错误. 答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)综合法的证明过程是合情推理的过程. () (2)分析法证明过程是演绎推理的过程. () (3)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是寻找
5、使结论成立的充分条件. () (4)综合法的特点是从“已知”看“未知”,其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件. (),探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,综合法的应用 【例1】 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 分析:所证等式中含有边和角,因此可考虑从等式的左边出发,利用正余弦定理将边转化为角,然后利用三角函数公式进行推证.,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,变式训练1已知a,b,c是不全相等的正数,求证: a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 证明:因为a,b,c是正数,所以b2+c
6、22bc, 所以a(b2+c2)2abc. 同理可得b(c2+a2)2abc, c(a2+b2)2abc. 又因为a,b,c不全相等, 所以b2+c22bc,c2+a22ca,a2+b22ab三式中不能同时取到“=”. 故式相加得,a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,分析法的应用 【例2】 已知函数f(x)=x2-2x+2,若mn1, 求证:f(m)+f(n) . 分析:已知条件较少,且很难和欲证不等式直接联系起来,故可考虑从欲证不等式出发,采用分析法证明.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,探究一,探究二,探究
7、三,当堂检测,规范解答,变式训练2在锐角三角形ABC中,求证:tan Atan B1. 证明:要证tan Atan B1,只需证 , 由于A,B均为锐角,所以cos A0,cos B0. 因此只需证明sin Asin Bcos Acos B,即cos Acos B-sin Asin B1.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,综合法与分析法的综合应用 【例3】已知三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且三个内角A,B,C构成等差数列.求证: . 分析:本题条件较为简单,但结论中的等式较为复杂,故可首先用分析法,将欲证等式进行转化,转化为一个较为简单的式子,然后再从已
8、知条件入手,结合余弦定理,推导出这个式子即可得证.,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,变式训练3在某两个正数x,y之间插入一个数a,使x,a,y成等差数列,插入两数b,c,使x,b,c,y成等比数列,求证:(a+1)2(b+1)(c+1).,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,分析法的证明过程及步骤 典例设f(x)=ax2+bx+c(a0),若函数y=f(x+1)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,求证: 为偶函数. 【审题策略】由于已知条件较为复杂,且不易与欲证问题联系,故可从欲证结论出
9、发,利用分析法进行证明,从函数图象的对称轴找到证明的突破口.,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,【答题模板】 第1步:将证明函数为偶函数问题转化为证明其对称轴为y轴 第2步:将对称轴用系数a,b表示,从而得到系数a,b应满足的条件 第3步:将已知条件中对称轴满足的条件用系数a,b表示,得到系数a,b之间的关系 第4步:对照第2步中的条件,由分析法的证明过程,问题得证 第5步:结论成立,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,1.下面叙述正确的是()
10、A.综合法、分析法是直接证明的方法 B.综合法是直接证法,分析法是间接证法 C.综合法、分析法所用语气都是肯定的 D.综合法、分析法所用语气都是假定的 解析:直接证明包括综合法和分析法. 答案:A,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,2.要证明 ,可选择的方法有以下几种,其中最合理的为() A.综合法B.分析法 C.比较法D.归纳法,答案:B,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,3.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,+),当x1f(x2)”的是() A.f(x)= B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1),答案:A,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,答案:a2+b2-2ab0(a-b)20(a-b)20,探究一,探究二,探究三,当堂检测,规范解答,
