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1、第二章,推理与证明,2.3数学归纳法,自主预习学案,数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (归纳奠基)证明当n取_时命题成立 (归纳递推)假设_，证明_,第一个值n0(n0N*),nk(kn0，kN*)时命题成立,当nk1时命题也成立,解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C,C,D,B,互动探究学案,命题方向1数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式,规律总结用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并
2、朝nk1证明目标的表达式变形,C,B,命题方向2用数学归纳法证明不等式,规律总结用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是： (1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明 (2)在推证“nk1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论,命题方向3用数学归纳法证明整除问题,证明(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立 (2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(
3、a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1. 由归纳假设知，上式能被a2a1整除，故当nk1时命题也成立 由(1)、(2)知，对一切nN*，命题都成立,规律总结用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决,利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k1)能被p整除，也可运用结论：若P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被
4、p整除或利用“P(k)能被P整除，存在整式q(k)，使P(k)Pq(k)”，将P(k1)变形转化分解因式产生因式p. 例如本题中，在推证nk1命题也成立时，可以用整除的定义，将归纳假设表示出来，假设nk时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则ak1(a1)2k1(a2a1)q(a)(q(a)为多项式)，,所以(a1)2k1(a2a1)q(a)ak1， 所以nk1时，ak2(a1)2k1 ak2(a1)2(a1)2k1 ak2(a1)2(a2a1)q(a)ak1 ak2(a1)2(a2a1)q(a)(a1)2ak1 (a1)2(a2a1)q(a)ak1(a2a1)， 显然能被a2a1整除，即
5、nk1时，命题亦成立,归纳猜想证明,规律总结数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意自然数n都成立的一般性命题解题一般分三步进行： (1)验证P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，； (2)提出猜想； (3)用数学归纳法证明,(2)由a2，a3，a4，对an的通项公式作出猜想：an(n1)n2n. 证明如下： 当n1时，a12(11)121成立 假设当nk(kN*)时，ak(k1)k2k， 则当nk1时， ak1akk1(2)2k (k1)k12kk1(2)2k kk12k1(
6、k1)1k12k1. 由此可知，当nk1时，ak1(k1)1k12k1也成立 由可知，an(n1)n2n对任意nN*都成立,未用归纳假设而致误,辨析错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误 正解(1)当n3时，左边2226，右边2(221)6，等式成立； (2)假设nk时，结论成立，即2222k12(2k11)， 那么nk1时，2222k12k2(2k11)2k22k22(2k1) 所以当nk1时，等式也成立 由(1)(2)可知，等式对任意n2，nN都成立,点评在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可 其中，第一步是递推的基础，验证nn0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明nk1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法,C,25(34k252k1)5634k2,课 时 作 业 学 案,
