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1、贴近度中文(1) 作者： 日期：一种新的模糊贴近度公理化方法王阿岩，王长忠(渤海大学数理学院 锦州 121000) 摘要：本文主要指出由现行的贴近度公理体系支持的内外积贴近度算法出现的反常现象，分析出现反常现象的原因，进而提出两套新的模糊贴近度公理体系：距离贴近度公理和内积贴近度公理。同时验证海明贴近度，欧几里得算法，最大最小算法，算数平均算法，绝对值指数法，绝对值倒数法，绝对值减法，数量积法适合距离贴近度公理；相关系数法，夹角余弦法，适合内积贴近度公理。最后构造了由距离和夹角组合的新的贴近度公式。关键词：贴近度，距离贴近度，内积贴近度。Fuzzy Approach Degree Axioma
2、tization Classify Ayan Wang,Changzhong Wang(Department of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121000, China)Abstract: This text main point out that inside and outside accumulate approach degree which has been supported by current approach degree axiom system emerging abnormal phenomen
3、on, and analyze the reason for the abnormal phenomenon. Then we should raise new axiom system to describe the similarity of fuzzy vector from two direction. We also verify that Hamming approach degree,Euclidean algorithm,maximum algorithm,arithmetic average algorithm,absolute value index method,abso
4、lute value counting backward technique,absolute value subtraction and dot product fit Distance approach degree axiom. Correlation coefficient method,Cosine method fit inner product approach degree axiom. Then we structure the approach degree that combined by distance and inclined angle.Key words: Ap
5、proach degree, Distance approach degree，Inner product approach degree.1.引言 Zadeh于1965年提出的模糊集理论1是一种处理不确定问题的新型数学工具。其中贴近度理论是模糊数学中的重要理论, 在模糊模式识别、模糊人工智能等模糊信息处理中有极其广泛的应用。模糊集之间贴近程度的度量在模糊数学及模糊信息处理中具有重要的意义。本文根据文献中模糊集贴近度的诸多定义, 发现已有的关于模糊贴近度的公理体系不能符合贴近度的所有定义，进而从两个方面研究了模糊贴近度的表示形式所具有的规律,提出两套公理体系，即距离贴近度公理和内积贴近度公理，
6、来刻画从不同方向定义的贴近度。新的公理体系的提出极大地丰富了模糊集贴近度理论的内容, 更有力地促进了模糊贴近度在模糊信息处理中的应用。2.内外积法贴近度的不合理性 为了研究方便, 先介绍模糊集贴近度的一般常用公理体系4-11如下公理体系：设是论域上的模糊集，若映射 满足如下条件：即对(1) （对称性）(2) (自反性)(3) （单调性）则为上的贴近度，为的贴近度。 这个公理体系是对贴近度提出的几条准则。根据以上准则定义的贴近度有很多，有海明贴近度，欧几里得贴近度等等，文献11-12做了详细的阐述，下面介绍一下很多书上用内外积法定义的贴近度，首先给出内外积的定义： (1)与的内积， (2)与的外
7、积,可知内积是最小值中的最大值，外积是最大值中的最小值。定义2.1设是论域上的模糊集，则贴近度 这是一些文献上13-14利用内外积法定义的贴近度，针对此定义需验证贴近度公理体系中的三个条件： (1) 显然满足对称性，所以满足公理体系中的第一条 (2) 自反性是不成立的 例如： 因为， 所以所以对于公理体系中的第二条不成立 (3) 严格单调性不成立 对于可知, ， 容易验证 所以得出 所以内积贴近度满足单调性，但不满足严格单调性。 例如：对于模糊集 很明显但是，进而由内外积法定义的贴近度得出这是不符合实际的。 总上所述，利用内外积法定义的贴近度，满足公理体系中的第一条，不满足第二条和第三条。对于
8、贴近度而言，公理体系中的第二条是至关重要的一个准则，两个集合越靠近，它们的贴近度越大，最靠近的时候（即衡量和时）应有一个固定的值1，这是合理的，而对于定义2.1中的贴近度，虽然保证了对称性，但无法保证集合本身和集合本身这种最靠近的情况下贴近度为1，甚至在讨论不同集合自身和自身的贴近度时，不能保证，很容易看出对于第二条是定义本身的问题。定义2.1虽然看似满足第三条单调性，但实际上这是不符合实际的，公理体系中的第三条不仅不能反应出严格单调性,而且对于非严格单调的三个模糊集没有规定其贴近度如何度量，对于第三条不仅仅是定义本身的问题同时也反应出公理体系的不足。同时我们发现利用内外积法定义的贴近度是以两
9、个模糊向量的两个点来刻画模糊集的相似性的，这样就必须要求两个模糊集具有特殊的性质，观察以下几个图像:111FE000图3图2图1 图1中当两个模糊集相交于一点时，只要交点不变，无论模糊集怎么变化，他们的内积和外积都一样，进而得到的贴近度都一样，这是不合理的。由图2和图3得出在两个单调模糊集的端点不变的情况下，从平行到不平行，我们发现刻画其贴近度时只有两点在起作用，所以只要模糊集的单调性和端点不变，其贴近度就不变，同样这种情况也不合理。通过以上情况分析，只有平行且单调的两个模糊集才能应用内外积法度量其贴近度，这种限制条件过为特殊，所以内外积法定义贴近度是不合理的，我们必须通过多点来刻画模糊集的相
10、似性。另外，我们常用相关系数法和夹角余弦法定义的贴近度也不符合文献4-11定义的贴近度公理体系的第三条，例如，由图4可知在与平行，与不平行且时，得出与夹角为零，所以，矛盾。11 00图5图4 因此，对于贴近度的研究应分情况讨论。3.基于距离的贴近度从文献4中可以总结出，目前贴近度定义可以通过以下两个方面刻画，一种是基于距离的贴近度，一种是基于内积的贴近度，距离贴近度主要是以两个模糊集间的距离来判断其相似性的，一般不考虑它们的夹角，内积贴近度主要是以两个模糊集的夹角来判断其相似性的，一般不考虑两个模糊向量的距离。一般参考文献对于贴近度或相似性均给出了上面的公理体系，显然这种公理体系中的第3条仅仅
11、能刻画用距离定义的贴近度，不能刻画用内积定义的贴近度，同样用内积度量的贴近度也不能用距离度量，如图4我们发现对于模不相等的两个模糊集如果用距离贴近度（如海明贴近度）来刻画其相似性，可得出他们并不相似，如果用基于内积的贴近度（如夹角余弦法）来刻画其相似性，可得出他们很相似。所以用原有的公理体系刻画两种贴近度是不合理的，下面对于不同的距离贴近度和内积贴近度分别给出不同的公理体系，首先给出基于距离的贴近度的公理体系：设是论域上的模糊集，若映射 满足如下条件：即对(1) (2) （对称性）(3) （自反性）(4) 则为上的贴近度，为的基于距离的贴近度.可见，基于距离贴近度的公理体系中的第4条同样满足原
12、公理体系中的第3条，并同时满足当三个模糊集并不严格平行单调时对贴近度的度量，由于距离贴近度的公理体系中的1,2,3条很容易验证，所以我们主要验证以下贴近度是否满足基于距离贴近度公理体系中的第4条即可。(1) 首先验证我们最常用的海明贴近度 或 (2) 贴近度 可知(1)与(2)显然满足(3) 最大最小法 证明：令 则 即又因为且所以得证(4)算术平均最小法 证明：同上我们可得出 又因为所以显然成立(5)几何平均最小法 证明方法同上(6) 绝对值指数法 (7) 绝对值倒数法 其中是适当选取的常数使。(8)绝对值减法 其中是适当选取的常数使。(9) 距离法（欧几里得距离）(10)指数相似系数法 以
13、上距离法（欧几里得距离），绝对值减法，绝对值倒数法，指数相似系数法在条件下均可容易得出，在这里不做详细阐述。基于以上的证明我们可以得出海明贴近度，欧几里得算法，最大最小算法，算数平均算法，绝对值指数法，绝对值倒数法，绝对值减法均是基于距离贴近度来刻画两个模糊集是否相似的。同样基于距离的贴近度我们还可以这样定义：设是论域上的模糊集，则贴近度 下面针对此定义，我们来验证公理体系中的三个条件：1 显然满足2 显然满足对称性3 成立4 所以得证应用实例在距离贴近度的公理体系下提出的新的贴近度定义可以解决文献中的各种例题，下面解决一种实际问题。例: 企业的经营管理状况可以由以下指标反映: :生产;:销售; :材料; : 存储; : 运输. 因此, 企业状况可以表示为上的 模糊集.现有四种不同类型的企业管理经验，它们分别为：现有企业,其状况为问该企业应采取哪种管理措施？应用海明贴近度可得到 得出符合要求。应用本文提出的新的贴近度可得到 同样可得到符合要求。所得结果和海明公式的结果一致，说明了文中提到的新公式在一般情况也同样适用.4.基于内积
