《人教A高中数学必修四课件312两角和与差的正弦余弦正切公式一2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A高中数学必修四课件312两角和与差的正弦余弦正切公式一2（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式(一),1.两角和的余弦公式,coscos-sinsin,C(+),任意角,2.两角和与差的正弦公式,S(+),S(-),sincos+cossin,sincos-,cossin,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)两角和与差的余弦公式中角，是任意的.() (2)sin(+)=sin+sin一定不成立.() (3)sin(-)=sincos-sincos.(),【解析】(1)正确.对于任意的，公式成立. (2)错误.一般情况下不成立,但在特殊情况下如当=0,R,或者R，=0时，sin(+)=sin +sin 成立. (3)错误.sin(
2、)=sin cos cos sin . 答案：(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)sin13cos17+cos13sin17=. (2)cos71sin11-sin71cos11=. (3)若cos= ，( )，则cos( )=.,【解析】(1)sin 13cos 17+cos 13sin 17= sin 30= . 答案： (2)cos 71sin 11-sin 71cos 11=sin(11-71) =-sin 60= . 答案：,(3)因为cos = 所以sin = 所以cos(+ )=cos cos sin sin 答案：,知识点1 两角和的余弦公式
3、公式cos(+)=coscos-sinsin的推导及记忆 (1)推导：在公式C(-)中，将用-来代替，并且注意到cos(-)=cos，sin(-)=-sin，于是cos(+)= cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos -sinsin. (2)记忆：对于公式C(+)，可记为“余余正正，符号相反”.,【微思考】 (1)将公式C(-)，C(+)进行对比，两个公式有什么区别和联系？ 提示：两个公式的共同特点是“同名相乘，符号相反”，不同点是中间的连接符号不同. (2)coscos与cos(-)及cos(+)之间有什么等式关系？ 提示：2coscos=cos(-)+cos(
4、+).,【即时练】 (2014遵义高一检测)已知cos = ，是第三象限 的角，则cos(+ )=_.,【解析】因为cos = ，是第三象限的角， 所以sin = 所以cos(+ )=cos cos sin sin 答案：,知识点2 两角和与差的正弦公式 1.公式sin(+)=sin cos +cos sin 的推导及记忆 (1)推导：运用差角的余弦公式C(-)和诱导公式，考虑 到sin(+)=cos -(+)，且cos( -)=sin , sin( -)=cos ,于是,sin(+)=cos -(+) =cos( -)-=cos( -)cos +sin( -)sin =sin cos +co
5、s sin . (2)记忆：对于公式S(-)，S(+)可记为“正余余正，符号相同”.,2.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系,【微思考】 (1)将公式S(-)，S(+)进行对比，两个公式有什么区别和联系？ 提示：两个公式的共同特点是“异名相乘，符号相同”，不同点是中间的连接符号不同.,(2)sin()与sin()相等吗？在利用公式S()时要注意什么？ 提示：sin()sin().在利用公式S()时要注意作差顺序.,【即时练】 1.(2014聊城高一检测)计算sin 44cos 14 cos 44cos 76的结果等于( ),【解析】1.选A.sin 44cos 14cos 44cos 76
6、sin 44cos 14cos 44sin 14sin 30,2.化简sin 15cos 75+cos 15sin 105=_ 【解析】sin 15cos 75+cos 15sin 105 =sin 15cos 75+cos 15sin 75 =sin(15+75)=sin 90=1. 答案：1,【题型示范】 类型一 正用公式利用已知条件求值 【典例1】 (1)(2014荆州高一检测)设，为钝角，且sin = cos = 则+的值为( ),(2)(2014济宁高一检测) =( ) (3)已知 sin 求sin(+).,【解题探究】1.题(1)中，为了求角+，应计算该角的哪种三角函数值？ 2.题
7、(2)中，角17，30和47有什么关系？可以想到利用哪个公式？ 3.题(3)中，角+与已知条件中的角 +如何联系起来？,【探究提示】1.因为+2，所以通过计算cos(+)求+. 2.47=17+30.由sin 17cos 30是“异名相乘”想到利用公式S(+). 3.一方面 +=+，另一方面+与+可以利用诱导公式联系起来.,【自主解答】(1)选C.因为,为钝角，所以由sin = 得 cos = 由cos = 得 sin = 所以cos(+)=cos cos -sin sin 又因为+2，所以+=,【方法技巧】条件求值问题的原则和基本思路 (1)“三看”原则 一看角，注意已知角与所求角之间的关系
8、,恰当地运用拆角、拼角技巧； 二看名，恰当利用同角三角函数关系进行转换，尽量减少函数名称； 三看式子的结构与特征，恰当选择公式.,(2)基本思路 化为特殊角的三角函数值； 化为正、负相消的项，消去求值； 化分子、分母出现公约数进行约分求值.,【变式训练】求值：cos20+cos100+cos140=. 【解析】原式=cos20+cos(120-20)+cos(120+20) =cos20+cos120cos20+sin120sin20+cos120 cos20-sin120sin20 =cos20+2cos120cos20=cos20-cos20=0. 答案：0,类型二 公式逆用、变用和综合应
9、用 【典例2】 (1)化简 cos x sin x的结果是( ) (2)(2014徐州高一检测)ABC中，若sin Asin B cos Acos B，则ABC的形状为_.,(3)(2014邢台高一检测)已知向量a=(cos ,sin )，b= (cos ,sin )，|a-b|= 求cos()的值； 若0 ， 0，且sin = ，求sin 的值.,【解题探究】1.题(1)中，已知条件如何变形可以构造出两角和或差的正弦或余弦公式的结构？ 2.题(2)中，已知条件变形后可以与哪个公式联系起来？如何判断三角形的形状？ 3.题(3)中，向量模的坐标表示形式是什么？所求角与角，有什么关系？,【探究提示
10、】1.提出 可以构造出两角和或差的正弦或余弦公式的结构. 2.把已知的不等式移项后，根据两角和的余弦公式化简得到cos(A+B)大于0.然后利用诱导公式得到cos C小于0，根据余弦函数的图象可知C为钝角，所以得到三角形为钝角三角形 3.若a=x1,y1，则|a|= =+.,【自主解答】(1)选D.方法一： cos x sin x =2 (cos cos xsin sin x)=2 cos( +x). 方法二： cos x sin x =2 (sin cos xcos sin x)=2 sin( x) =2 cos （ x）=2 cos（ +x）. (2)由sin Asin Bcos Acos
11、 B得cos(A+B)0， 所以cos C=cos -(A+B)=-cos(A+B)0，故角C为钝角所以ABC的形状为钝角三角形 答案：钝角三角形,(3)因为a=(cos ,sin )，b=(cos ,sin )， 所以a-b=(cos cos ,sin sin ). 又因为|a-b|= ，所以 （cos cos ）2+（sin sin ）2=（ ）2， 22cos()= ，解得cos()= .,因为0 ， 0，所以0， 又cos（）= ，所以sin ()= , 由sin = ，得cos = . 所以sin =sin()+ =sin ()cos +cos(）sin ,【延伸探究】题(2)条件改
12、为“2sin Acos B=sin C”，试判断ABC的形状. 【解析】因为A+B+C=，所以sin C=sin(A+B)， 又因为2sin Acos B=sin C， 所以2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B， 所以sin Acos B-cos Asin B=0， 所以sin(A-B)=0，又-AB， 所以A-B=0，所以A=B. 所以ABC是等腰三角形.,【方法技巧】 1.asin x+bcos x的化简步骤 (1)提常数，即把asin x+bcos x提出 得到 (2)定角度，由 =1，我们不妨设 (3)化简，逆用两角和的正弦公式可得asin x+bcos
13、x = sin(x+).,2.公式的功能和结论 (1)公式的功能：实现将含有sin x,cos x的一次式子化简成Asin(x+)的形式，并可做进一步的探究. (2)与特殊角有关的几个结论,3.两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用 (1)在三角形内解决问题时，三角形内角和定理、诱导公式与两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用. (2)与向量有关的问题要注意向量共线、垂直和数量积坐标表示条件的应用.,【变式训练】已知a=(2sin 35,2cos 35)，b=(cos 5, -sin 5)，则ab=( ) A.0 B.1 C.2 D.2sin 40 【解析】选B.ab=2sin 35cos 5-2
14、cos 35sin 5 =2sin 30=1.,【补偿训练】已知a=sin 14+cos 14,b=sin 16+ cos 16,c= ，则a,b,c从大到小的关系是_. 【解析】a=sin 14+cos 14= sin 59,b= sin 61，c= sin 60. 因为59ca. 答案：bca,【易错误区】两角和与差的正弦、余弦公式逆用不当致误 【典例】(2014遵义高一检测)已知sin （+ ） sin ，则cos（+ ）等于( ),【解析】选D.因为sin （+ ）+sin =sin cos +cos sin +sin = sin + cos +sin = sin + cos 所以cos 所以,【常见误区】,【防范措施】 1.恰当选择两角和与差的正弦、余弦公式 形如asin x+bcos x三角函数式的化简，关键是记准特殊角 的三角函数值，恰当选择并逆用公式化简为一个角的一种三 角函数形式.如本例中，,2.注意与诱导公式或同角三角函数关系结合应用 三角函数式化简的思路主要从“角”“函数名”“式子结构”等角度找思路，此时要特别注意诱导公式、同角三角函数关系的应用.如本例中，由,【类题试解】已知cos 的值是( ),【解析】选C.,
