《人教A高中数学选修11同课异构课件333函数的最大小值与导数精讲优练课型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A高中数学选修11同课异构课件333函数的最大小值与导数精讲优练课型（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.3 函数的最大(小)值与导数,【自主预习】 1.函数y=f(x)在闭区间a,b上取得最值的条件 如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是_ 的曲线,那么它必有最大值和最小值.,一条连续不断,2.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y=f(x)在_内的极值. (2)将函数y=f(x)的_与端点处的_ _比较,其中_的一个是最大值,_的一个是 最小值.,(a,b),各极值,函数值f(a),f(b),最大,最小,【即时小测】 1.连续函数f(x)在(a,b)上有最大值是有极大值的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2、,【解析】选A.连续函数f(x)在(a,b)上有最大值能推出其有极大值,但有极大值不一定有最大值.,2.函数f(x)=x2-x+1在区间-3,0上的最值为() A.最大值为13,最小值为 B.最大值为1,最小值为4 C.最大值为13,最小值为1 D.最大值为-1,最小值为-7,【解析】选C.f(x)=2x-1,令f(x)=0, 得x= ,当xf(0).而f(-3)=13,f(0)=1,所以函数在-3,0上的最大值为13,最小值为1.,3.已知f(x)=-x2+mx+1在区间-2,-1上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是. 【解析】f(x)=m-2x,令f(x)=0,得x= .
3、由题设得 (-2,-1),故m(-4,-2). 答案:(-4,-2),【知识探究】 探究点函数极值与最值的关系 1.函数在闭区间上的极大值就是最大值吗?极小值就是最小值吗? 提示:不一定.函数在闭区间上的极大值不一定是最大值,还要与端点处的函数值比较,最大的即最大值;同理,闭区间上的极小值也不一定是最小值.,2.函数在区间a,b上的最值一定在端点处取得吗? 提示:不一定.还与函数在区间上的单调性、极值有关.,【归纳总结】 1.对函数最大(小)值的认识 (1)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的连续函数不一定有最值.若有惟一的极值,则此极值必是函数的最值. (2)函数的最大值和最小值是一个整
4、体性概念.,2.函数最值与极值的区别与联系 (1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最大值和最小值是一个整体性概念.,(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有多个,但最值只能有一个.,特别提醒:极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得.,类型一求函数的最值 【典例】1.(2016临沂高二检测)y=x3+x2-x+1在区间-2,1上的最小值为() A.B.2C.-1D.-4,2.(2016安庆高二检测)已知函数f(x)=x3-3x,xR. (1)求f(x)的单调区间. (2)当x- ,3时,求f(x)的
5、最大值与最小值.,【解题探究】1.要求函数的最值,需要先确定函数的哪些量? 提示:要求函数的最值,需要求出函数的极值、端点值.,2.闭区间上函数的单调性对最值有何影响? 提示:若在闭区间上单调,则最值在端点处取得,否则要将极值与端点值比较.,【解析】1.选C.y=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),令y=0, 得x= 或x=-1,当x=-2时,y=-1;当x=-1时,y=2;当x= 时,y= ;当x=1时,y=2. 所以函数在-2,1上的最小值为-1.,2.(1)f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当x1时,f(x)0; 当-1x1时,f(x)0, 所以f(x)的单调递增区间
6、为(-,-1)和(1,+),单调递减区间为(-1,1).,(2)由(1)可知x- ,3时, f(x)的极大值为f(-1)=2,f(x)的极小值为f(1)=-2, 又f(- )=0,f(3)=18, 所以f(x)的最大值为18,f(x)的最小值为-2.,【方法技巧】求函数最值的四个步骤 第一步求函数的定义域. 第二步求f(x),解方程f(x)=0. 第三步列出关于x,f(x),f(x)的变化表. 第四步求极值、端点值,确定最值. 特别警示:不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较.,【变式训练】1.(2016青岛高二检测)已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a).若f(-1)=0. (1)
7、求a的值. (2)求函数f(x)在-2,2上的最大值和最小值.,【解题指南】先求a的值,然后求导、确定极值点,求极值与端点函数值,比较大小确定最值.,【解析】(1)f(x)=(x2-4)(x-a)=x3-ax2-4x+4a, 所以f(x)=3x2-2ax-4, 由f(-1)=0,得3+2a-4=0,所以a= .,(2)由(1)知f(x)=(x2-4) f(x)=3x2-x-4=(3x-4)(x+1).令f(x)=0, 得x=-1或x= . 而f(-2)=f(2)=0,f(-1)= 所以f(x)max= ,f(x)min=- .,2.(2016枣庄高二检测)求下列函数在相应区间上的最值: (1)
8、f(x)= x+sinx,x0,2. (2)y= ,x0,4.,【解析】(1)f(x)= +cosx. 令f(x)=0,又x0,2, 解得x= 或x= . 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,故当x=0时,f(x)有最小值f(0)=0; 当x=2时,f(x)有最大值f(2)=.,(2)y= 令y=0,即-x2+2x+1=0,得x=1 , 而x=1- 0,4. 故当x(0,1+ )时,f(x)0; 当x(1+ ,4)时,f(x)0. 因此x=1+ 是f(x)的极大值点,f(x)极大值=f(1+ )= 又f(0)=-1,f(4)= , 故函数的最大值是 ,最小值为-1.,类型二含参数
9、的最值问题 【典例】(2016成都高二检测)已知函数f(x)= ex-ax2-bx-1,其中a,bR,e=2.71828为自然对数的底数. 设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值.,【解题探究】由函数g(x)的表达式,求g(x)在区间0,1上的最小值的关键是什么? 提示:因为g(x)=ex-2a,令g(x)=0得x=ln(2a),因此关键是讨论ln(2a)与区间0,1的关系.,【解析】因为f(x)=ex-ax2-bx-1, 所以g(x)=f(x)=ex-2ax-b, 又g(x)=ex-2a,因为x0,1,1exe, 所以: (1)若a ,则2a1,g(x)=ex
10、-2a0, 所以函数g(x)在区间0,1上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b.,(2)若 则10, 所以函数g(x)在区间0,ln(2a)上单调递减,在区间 ln(2a),1上单调递增, g(x)min=g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b.,(3)若a ,则2ae,g(x)=ex-2a0, 所以函数g(x)在区间0,1上单调递减, g(x)min=g(1)=e-2a-b. 综上所述,当a 时,g(x)在区间0,1上的最小值为 g(x)min=g(0)=1-b;,当 时,g(x)在区间0,1上的最小值为g(x)min=g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b; 当a 时,g
11、(x)在区间0,1上的最小值为g(x)min=g(1)=e-2a-b.,【延伸探究】 1.若a=1,b=-2,求函数g(x)在区间0,1上的最小值. 【解析】因为a=1,b=-2, g(x)=f(x)=ex-2x+2, 又g(x)=ex-2,令g(x)=0,因为x0,1, 解得x=ln2,已知当x=ln2时,函数取极小值,也是最小值,故g(x)min=g(ln2)=2-2ln2+2=4-2ln2.,2.当b=0时,若函数g(x)在区间0,1上的最小值为0,求a的值. 【解析】当b=0时,因为f(x)=ex-ax2-1, 所以g(x)=f(x)=ex-2ax, 又g(x)=ex-2a,因为x0,
12、1,1exe, 所以:,(1)若a ,则2a1,g(x)=ex-2a0, 所以函数g(x)在区间0,1上单调递增,g(x)min=g(0)=1,不符合题意;,(2)若 ,则10, 所以函数g(x)在区间0,ln(2a)上单调递减,在区间 ln(2a),1上单调递增, g(x)min=g(ln(2a)=2a-2aln(2a)=0, 解得a= 不符合题意,舍去.,(3)若a ,则2ae,g(x)=ex-2a0, 所以函数g(x)在区间0,1上单调递减, g(x)min=g(1)=e-2a=0, 解得a= . 综上所述,a= .,【方法技巧】 1.含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件确定
13、出参数,从而化为不含参数函数的最值问题.,(2)对于不能求出参数值的问题,则要对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.,2.已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,用参数表示出最值后求参数的值或范围.,【补偿训练】(2016石家庄高二检测)已知函数 f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在-1,2上取
14、得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.,【解题指南】解题时应比较函数的极值与最值,综合运用求极值、最值的方法建立含参数的方程(组),解之即可.,【解析】显然a0.f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 令f(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去). (1)若a0,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,由上表知,当x=0时,f(x)取得最大值, 所以f(0)=b=3. 所以f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,故f(-1)f(2), 所以当x=2时,f(x)取得最小值, 即-16a+3=-29,a=2.,(2)若a0,当x变化时
15、,f(x),f(x)的变化情况如下表:,所以当x=0时,f(x)取得最小值,所以f(0)=b=-29. 所以f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29, 故f(2)f(-1). 所以当x=2时,f(x)取得最大值, 即-16a-29=3,a=-2.,综上所述,所求a,b的值为 或,类型三与函数最值有关的综合问题 【典例】(2016烟台高二检测)设f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f(x). (1)求g(x)的单调区间和最小值. (2)求a的取值范围,使得g(a)-g(x)0成立.,【解题探究】 1.求单调区间和最值的关键是什么?求解时应注意什么? 提示:关键是求导数,求解时应注意函
16、数的定义域.,2.对于恒成立问题,求参数范围的常用方法是什么? 提示:求参数范围的常用方法是分离参数法.,【解析】(1)由题设知f(x)的定义域为x(0,+), f(x)= ,g(x)=lnx+ , 所以g(x)= 令g(x)=0得x=1. 当x(0,1)时,g(x)0,故(0,1)是g(x)的单调递减区间;,当x(1,+)时,g(x)0,故(1,+)是g(x)的单调递增区间.因此,x=1是g(x)在(0,+)上的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g(1)=1.,(2)g(a)-g(x)0成立,即lna0成立. 由(1)知g(x)的最小值为1, 所以lna1. 解得0ae.,【方法技巧】分离参数求解不等式恒成立问题,【变式训练】(2016北京东城区高二检测)设L为曲线 C:y= 在点(1,0)处的切线. (1)求L的方程. (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.,【解析】(1)设f(x)= ,则f(x)= ,所
