《人教A高中数学必修四课件311两角差的余弦公式3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A高中数学必修四课件311两角差的余弦公式3（47页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章三角恒等变换 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1两角差的余弦公式,两角差的余弦公式,coscos+sinsin,C(-),任意角,1判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)存在角，使cos()=cos cos .( ) (2)对于任意角，总有cos()=cos cos . ( ) (3)对于任意角，总有cos()=cos cos cos cos .( ),【解析】(1)正确.如cos(060)=cos0-cos60. (2)错误.对于任意角，总有cos() =coscos+sinsin. (3)错误.理由与(2)相同. 答案：(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的
2、答案写在横线上) (1)cos175cos55+sin175sin55=. (2)不查表求值cos105=. (3)已知sin= ，( )，则cos( )=.,【解析】(1)cos 175cos 55+sin 175sin 55 =cos(17555)=cos 120= . 答案： (2)cos 105=cos15045 =cos 150cos 45+sin 150sin 45 答案：,(3)因为sin = ,( ,), 所以cos = 所以cos(- )=cos cos +sin sin 答案：,【要点探究】 知 识 点 两角差的余弦公式 对公式C(-)的三点说明 (1)公式的结构特点 公式
3、的左边是差角的余弦,右边的式子是含有同名函数之积的和式,可用口诀“余余正正号相反”记忆公式.,(2)公式的适用条件 公式中的,不仅可以是任意具体的角,也可以是一个 “团体”,如 中的“ ”相当于公式中 的角,“ ”相当于公式中的角 .,(3)公式的“活”用 公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用.而变用又涉及 两个方面： 公式本身的变用，如 cos()cos cos =sin sin . 角的变用，也称为角的变换，如cos =cos(+)， cos 2=cos(+)().,【微思考】 (1)根据公式C()，要计算cos()需要计算哪些量？ 提示：需要计算cos ，cos ，sin ，sin
4、 四个量. (2)若或中有 (kZ)的形式，计算cos()时除了用公式C()之外，还可以用什么方法？哪种方法更简洁？ 提示：还可以用诱导公式.用诱导公式更简洁.,【即时练】 1.cos 345的值等于( ),【解析】选C.cos 345cos(15360)cos(15) cos 15cos(4530)cos 45cos 30 sin 45sin 30,2.cos(+21)cos(24)+sin(+21)sin(24) =_.,【解析】cos(+21)cos(24)+sin(+21) sin(24) =cos (+21)(24)=cos 45= . 答案：,【题型示范】 类型一 给值(角)的求值
5、问题 【典例1】 (1)已知cos = ， 则cos( )=( ) (2) 的值是( ) (3)(2013淮北高一检测)设,【解题探究】1.题(1)中，要求cos( )需要知道哪些量？计算未知量时，要特别注意什么？ 2.题(2)中，10，20，70三个角可以通过哪些公式联系起来？ 3.题(3)中，已知角 与所求角 有什么关系？,【探究提示】1.要求cos( )需要知道cos ，cos sin ，sin 四个量.计算未知量时，要特别注意的取值 范围. 2.cos 10=cos(3020)，sin 70=cos 20. 3.,【自主解答】(1)选A.因为cos = ， 所以sin = 所以cos(
6、 )=cos cos +sin sin,【方法技巧】给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路 已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换. (2)常见角的变换 =(-)+；= 2=(+)+(-)；2=(+)-(-).,【变式训练】求sin 167sin 223sin 257sin 313的值 【解题指南】解答本题要首先利用诱导公式将已知角转化为锐角，然后利用两角差的余弦公式计算.,【解析】原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin
7、 77sin 47 sin 13sin 43cos 13cos 43 cos(1343)cos(30),【补偿训练】设(0， )，若sin ，求 cos( )的值 【解析】因为(0， )，sin ，所以cos 所以 cos( ) (cos cos sin sin ) cos sin ,类型二 给值求角问题 【典例2】 (1)已知，均为锐角，且cos = ，cos = 则-=_. (2)(2014南昌高一检测)已知cos = ,cos()= 且0 ,求的值.,【解题探究】1.题(1)中，角的取值范围是什么？要计算此角，首先计算该角的哪个三角函数值？ 2.题(2)中，已知角，与所求角有什么关系？
8、【探究提示】1.题(1)中，- 0,因为y=cos x在 (- ,0)上是增函数，所以要计算此角，首先计算该角的余弦值. 2.题(2)中，=-(-).,【自主解答】(1)因为，均为锐角， 所以sin = ,sin = 所以cos(-)=cos cos +sin sin 又sin sin ，所以0 ，所以- -0. 故-=- . 答案：-,(2)由cos ，0 得sin 由0 ，得0 . 又因为cos() 所以sin() 由()得 cos cos ()cos cos() sin sin(),【延伸探究】题(2)中，若cos = ，cos(+)= 求的值.,【解析】因为0 ，所以0+， 由cos
9、= ，cos(+)= 得sin = ，sin(+)= 所以cos cos (+)cos(+)cos sin(+)sin ,【方法技巧】解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值. (2)确定角的范围. (3)根据角的范围写出所求的角.,【变式训练】已知sin +sin = ,cos +cos = ,0，求-的值. 【解题指南】首先将已知两个等式平方后相加，然后利用同角三角函数的平方关系和两角差的余弦公式求cos(-)，再求-.,【解析】因为(sin +sin )2=( )2,(cos +cos )2 =( )2, 以上两式展开两边分别相加得2+2cos(-)=1, 所以cos(-)
10、= 所以0，-0，所以-=,【补偿训练】已知cos(-)=- ，cos(+)= ,且 -( ,),+( ,2)，求角的值. 【解题指南】先求cos 2的值，再求2，进而求.,【解析】由-( ,)， 且cos(-)=- ，得sin(-)= 由+( ,2)，且cos(+)= 得sin(+)= cos 2=cos(+)-(-) =cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-),又因为-( ,)，+( ,2), 所以2( , ), 所以2=,则=,【易错误区】求三角函数值时忽视角的取值范围致误 【典例】(2014荆州高一检测)若,( ,)， sin(+)= ，sin( )= ，则cos(+ ) 的
11、值等于( ),【解析】选A.因为,( ,)， 所以+( )， . 由sin(+)= ，得 cos(+)= 由sin( )= 得cos( )=,所以 =cos(+)cos( )+sin(+)sin( ),【常见误区】,【防范措施】 1.重视角的范围的计算 应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，经常由正(余)弦 值计算余(正)弦值，此时要特别注意计算角的范围，从而判 断终边位置.如本例中，由+ 知+， 分别是第四、二象限角，这两个角的余弦值分别为正数和负数.,2.注意拆角、凑角方法的应用 应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，分析已知角与 所求角的关系是探究解题思路的关键.如本例中，注意到 + =(+)( )，就自然想到解题思路.,【类题试解】(2013焦作高一检测)已知sin 则cos 的值是( ),【解析】选A.因为 所以 所以,
