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1、高中数学人教A版选修45不等式选讲,四川省成都市新都一中 肖 宏,No.1 middle school ，my love ！,古时候有个人叫王戎，7岁那年的某天，他和小伙伴在路边玩，看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说:“李子是苦的，我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦得没法吃.小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没吃怎么知道李子是苦的啊?” 王戎说:“如果李子是甜的，树长在路边，李子早就没有了，李子现在还这么多，所以啊，李子肯定是苦的，不好吃!” 王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗?是什么方法?,No.1 middle school ，my l
2、ove ！,第7课时不等式的证法（二）,No.1 middle school ，my love ！,预学1:反证法 (1)反证法在证明的过程中，先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.我们把这种方法称为反证法.,No.1 middle school ，my love ！,前面的比较法、综合法、分析法都是直接证明命题，属于直接证法，而反证法是通过说明假设的不成立来证明原命题成立，属于间接证法.,No.1 middle school
3、，my love ！,(2)反证法适应的题目类型 反证法主要适合用于以下两种情况:结论和条件之间的联系不明显，直接证明的线索不清晰，难以入手；直接从正面证明需要分多种情形进行分类讨论，而反面只需研究一种情形或很少的几种情形.如否定型命题，唯一性命题，至多、至少型命题等一般适合用反证法.,No.1 middle school ，my love ！,想一想:用反证法证明“已知a3b32，求证:ab2”时的假设为，得出的矛盾为. 【答案】ab2a3b32(或a3b32),No.1 middle school ，my love ！,预学2:利用反证法证明不等式的步骤 第一步:分清欲证不等式所涉及的条件
4、和结论； 第二步:做出与所证不等式相反的假定； 第三步:从条件和假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步:断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做出的假定不正确，于是原证不等式成立.,No.1 middle school ，my love ！,议一议:若x，y0，且xy2，证明: 和 中至少有一个小于2.,No.1 middle school ，my love ！,【解析】假设 2， 2.x0，y0， 1y2x，1x2y， 2xy2y2x，xy2， 这与xy2矛盾， 和 中至少有一个小于2.,No.1 middle school ，my love ！,预学3:放缩法 放缩法就是将要证的
5、不等式一边适当地放大(或缩小)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大小的传递性，使不等式得到证明的方法.这种方法是证明不等式常用的方法，尤其在今后学习高等数学时用处更广泛.,No.1 middle school ，my love ！,议一议:用放缩法证明: 1 2，其右边不等式的证明如下: 1 1 () 11 () 2 2. 讨论上面每一步成立的原因及不等式的左边应如何证明?,No.1 middle school ，my love ！,【解析】第一个不等式成立的原因是将每一个分数的分母减小，从而分数值增大，第二个与第三个等号成立的原因是应用了裂项相消法，第四个不等式成立的原因是进行了放缩
6、.,No.1 middle school ，my love ！,左边不等式证明如下: 1 1 () 1 1 .,No.1 middle school ，my love ！,预学4:放缩法证明不等式的常用方法 (1)添加或舍去一些项，如: |a|， () n，(a )2 (a )2； (2)将分子或分母放大(或缩小)，如: () () ； (3)真分数的性质:“若0ab，m0，则 ”；,No.1 middle school ，my love ！,(4)利用基本不等式，如:lg 3lg 5( )2( )2( )2(lg 4)2， () () ； (5)利用函数的单调性； (6)利用函数的有界性，如
7、:|sin x|1(xR)，x2x (xR)，2x0(xR)； (7)绝对值不等式:|a|b|ab|a|b|.,No.1 middle school ，my love ！,练一练:证明: 2( ) 2( ) (kN*，k1).,No.1 middle school ，my love ！,【解析】 2( )(kN*，k1)， 2( )(kN*，k1)， 2( ) 2( ) (kN*，k1).,No.1 middle school ，my love ！,设an + (+) (n1，2，3)，(1985年全国卷(16)10分)(1)证明不等式： (+) (+) (2)略,No.1 middle sc
8、hool ，my love ！,1.用反证法证明不等式 例1、已知f(x)x2pxq. (1)求证:f(1)f(3)2f(2)2； (2)求证:|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 .,No.1 middle school ，my love ！,【方法指导】(1)根据函数f(x)的解析式，分别将x1，2，3代入求得f(1)，f(3)，f(2)的值，进而求得f(1)f(3)2f(2)的值；(2)“至少有一个不小于”的反面情况较简单，比较方便证明，故从反面进行证明，即使用反证法.,No.1 middle school ，my love ！,【解析】(1)f(1)f(3)2f(
9、2)(1pq)(93pq)2(42pq)2. (2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于 ， 则|f(1)|2|f(2)|f(3)|2， 而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)|2，出现矛盾. 故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于 .,No.1 middle school ，my love ！,变式训练1、已知abc0，abbcca0，abc0，求证:a，b，c0. 【解析】假设a0，abc0，bc0. 又abc0，bca0. abbccaa(bc)bc0，与题设矛盾. 若a0，则与abc0矛盾，必有a0. 同理可证:b0，c0.
10、,No.1 middle school ，my love ！,2.用放缩法证明不等式 例2、设n为正整数，求证:1 2.,No.1 middle school ，my love ！,【方法指导】通过放缩，分别证明不等式的两部分成立.放缩时，一要结合不等号的方向进行放大或缩小，二要使放缩后的式子便于求和.因为式子 2，所以可以利用 中从第二项起每一项都小于 ，即可完成右端不等式的证明，左端证明可类比进行.,No.1 middle school ，my love ！,【解析】由于 ， ， ， ， 上述2n个不等式相加， 得 ， 故 2.,No.1 middle school ，my love ！,
11、由于 ， ， ， 上述n个不等式相加，两边再加上 ，得 1， 于是1 2.,No.1 middle school ，my love ！,变式训练2、已知a，b，c，d0，设S . 求证:1S2.,No.1 middle school ，my love ！,【解析】因为 1，所以S1.,No.1 middle school ，my love ！,又因为 ， ， ， ， 所以 1， 1，即 2.所以S2. 综上所述，1S2.,No.1 middle school ，my love ！,3.综合运用 例3、设a，bR，求证: | | | | | | . 【方法指导】本题的证法很多，下面给出一种证法:
12、比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明.或利用绝对值不等式的性质进行放缩证明.,No.1 middle school ，my love ！,【解析】(法一)设f(x) 1 .定义域为x|xR，且x1，f(x)分别在区间(，1)，(1，)上是增函数. 0|ab|a|b|，f(|ab|)f(|a|b|)， 即 | | | | | | | | | | | | ， 原不等式成立.,No.1 middle school ，my love ！,(法二)当|ab|0时，不等式显然成立. 当|ab|0时，|ab|a|b|， | | | | | | | | |
13、| | | | | .,No.1 middle school ，my love ！,变式训练3、已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对边.求证: .,No.1 middle school ，my love ！,【解析】a0，b0， ， . . 而函数f(x) 1 在(0，)上单调递增. 又a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对边，abc，c0， f(ab)f(c)，则 ， ，故原不等式成立.,No.1 middle school ，my love ！,1.反证法是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的. 其主要步骤是:提出假设推出矛盾肯定结论.当一个命题，正难则反，直接证
14、明的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易. 2.反证法中常见的矛盾形式 (1)与已知条件即题设矛盾； (2)与假设即反设矛盾； (3)与已知的定义、公理和定理矛盾，即得出一个恒假命题； (4)自相矛盾.,No.1 middle school ，my love ！,3.放缩法的注意事项: 当要证明的不等式中含有分式时，我们把分母放大，则相应的分式的值缩小，反之，若把分母缩小，则分式的值放大，这是一种常用的放缩方法. 放缩法放大或缩小的限度不是唯一的，如果用某种放大的办法可以得到欲证结论，那么比此放大更“精细”的放大就应该更能得到所需结论.但是一般来讲，这种“风险”和“难度”
15、是成正比的，放得越宽，能否证出命题的“风险”越大，但相对放大的“难度”就越低；反之，放大越精细，那么能证出最终结论的可能性越大，但是“难度”也相对增大，这其中的平衡就需要从大量练习中去把握.,No.1 middle school ，my love ！,用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2axb0至少有一个实根”时，要做的假设是(). A.方程x2axb0没有实根 B.方程x2axb0至多有一个实根 C.方程x2axb0至多有两个实根 D.方程x2axb0恰好有两个实根 【解析】因为“方程x2axb0至少有一个实根”等价于“方程x2axb0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x2axb0没有实根”. 【答案】A,No.1 middle school ，my love ！,第7课时不等式的证法（二）,No.1 middle school ，my love ！,作业：见固学案,第7课时不等式的证法（二）,
