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1、生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具。本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。,情景设置,解决优化问题的基本思路是：,优化问题,用函数表示的数学问题,优化问题的答案,用导数解决数学问题,思路小结,上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。,导数与优化问题,【例1】用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90角，再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？,【例2】在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直
2、线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？,【例3】如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为 ，短半轴长为 ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记 ，梯形面积为S 。 (I)求面积S以 为自变量的函数式，并写出其定义域； (II)求面积S的最大值。,【例4】某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A, B 及CD的中点P 处,已知AB=20km,CB
3、=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂, 并铺设排污管道AO，BO,OP ,设排污管道的总长为 y km。,(I) 按下列要求写出函数关系式： 设 (rad)，将 表示成 的函数关系式； 设 (km) ，将 表示成 的函数关系式。 (II)请你选用(I)中的一个函数关系式，确 定污水处理厂的位置，使三条排污管道 总长度最短。,【例5】两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的
4、影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y, 统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；,对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065。 （ 1 ）将y表示成x的函数； （ II ）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离; 若不存在，说明理由。,【例6】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式 , 其中3x6, a为常数，已知销售价格为5元/千克时, 每日可售出该商品11千克。 () 求a的值； () 若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。,【例7】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。 （）试写出y关于x的函数关系式； （）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？,
