《高中数学人教选修11配套课件第3章导数及其应用3.3.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教选修11配套课件第3章导数及其应用3.3.2（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.3.2函数的极值与导数,第三章 3.3 导数在研究函数中的应用,1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近 其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧 ，右侧 ，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值. (2)极大值点与极大值
2、 如(1)中图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb的左侧 ，右侧 ，则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值. 、 统称为极值点， 和 统称为极值.,答案,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,极大值点,极小值点,极大值,极小值,思考极大值一定大于极小值吗？ 答案不一定.,答案,知识点二求函数yf(x)的极值的方法 解方程f(x)0，当f(x0)0时： (1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是 . (2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(
3、x0)是 .,极大值,极小值,答案,返回,题型探究 重点突破,解析答案,题型一求函数的极值,反思与感悟,解函数的定义域为R.,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可以看出： 当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3； 当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.,令f(x)0，得x1，或x1.,反思与感悟,反思与感悟,求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域，求导数f(x)； (2)求方程f(x)0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这
4、个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.,解析答案,令f(x)0，得x1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,因此当x1时，f(x)有极小值f(1)3.,解析答案,题型二利用函数极值确定参数的值 例2 已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1. (1)求常数a，b，c的值； 解f(x)3ax22bxc. x1是函数f(x)的极值点， x1是方程f(x)3ax22bxc0的两根，,又f(1)1，abc1. ,解析答案,(2)判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并
5、求出极值.,当x1时，f(x)0， 当1x1时，f(x)0， 函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数， 在(1,1)上是减函数， 当x1时，函数取得极大值f(1)1， 当x1时，函数取得极小值f(1)1.,反思与感悟,反思与感悟,(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.,解析答案,跟踪训练2已知函数f(x)ax3bx2cx在xx0处取得极大值5， 其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x0
6、的值； 解由图象可知，在(，1)上f(x)0， 在(1,2)上f(x)0， 在(2，)上f(x)0. 故f(x)在(，1)，(2，)上单调递增， 在(1,2)上单调递减， 因此f(x)在x1处取得极大值，所以x01.,解析答案,(2)a，b，c的值. 解f(x)3ax22bxc， 由f(1)0，f(2)0，f(1)5，,解得a2，b9，c12.,解析答案,题型三函数极值的综合应用 例3设函数f(x)x36x5，xR. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； 解f(x)3x26，令f(x)0，,解析答案,(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围. 解由(1)的分析知yf
7、(x)的图象的大致形状及走向如图所示.,直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点， 即方程f(x)a有三个不同的实根.,反思与感悟,反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.,解析答案,跟踪训练3设a为实数，函数f(x)x33xa. (1)求f(x)的极值； 解f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1. 因为当x(，1)时，f(x)0， 当x(1,1)时，f(x)0， 当x(1，)时，f(x)0， 所以f(x)的极小值为f(1)a2，极大值为f(1)a2.,解析答案,(2)是否存
8、在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.,解因为f(x)在(，1)内单调递减， 且当x时，f(x)，f(x)在(1，)内单调递减， 且当x时，f(x)， 而a2a2， 即函数的极大值大于极小值， 所以当极大值等于0时，极小值小于0， 此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点， 即方程f(x)0恰好有两个实数根， 所以a20，a2，如图1所示.,解析答案,当极小值等于0时，极大值大于0， 此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点， 即方程f(x)0恰好有两个实数根， 所以a20，a2，如图2所示. 综上所述，当a2或a2时， 方程f(x)0恰有两个实数根.
9、,思想方法,等价转化思想的应用,解析答案,返回,解析答案,分析(1)对原函数求导，将导函数问题转化为由二次函数的根的分布探求开口方向的问题，从而证得a0； (2)利用x1，x2为导函数的两个根，将0 x11x22等价转化为不等式组，利用线性规划求a2b的最大值与最小值. (1)证明由函数f(x)在xx1处取得极大值， 在xx2处取得极小值，知x1，x2是f(x)0的两个根. 由题意，得f(x)ax22bx2b， 所以f(x)a(xx1)(xx2). 由题意，知在xx1的左侧有f(x)0. 由xx10，xx20，得a0.,此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线2b0， a3b20,4a5b2
10、0所围成的ABC的内部，如图所示.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,解析答案,1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)() A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 解析f(x)的符号由正变负， 则f(x0)是极大值，f(x)的符号由负变正， 则f(x0)是极小值， 由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.,C,解析答案,1,2,3,4,5,2.已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值情况为(),1,2,3,4,5,解析f(x)3x
11、22pxq，根据题意，知x1是函数的一个极值点，,所以f(x)3x24x1.,当x1时，f(x)有极小值为0，故选A. 答案A,1,2,3,4,5,3.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为( ) A.12 D.a6 解析f(x)3x22ax(a6)， 因为f(x)既有极大值又有极小值， 那么(2a)243(a6)0， 解得a6或a3.,D,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,4.设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2， 且x1x21，则实数a的值为_. 解析f(x)18x26(a2)x2a.,所以a9.,9,解析答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,若b1，c1，则f(x)x22x1(x1)20， 此时f(x)没有极值； 若b1，c3，则f(x)x22x3(x3)(x1)， 当3x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0.,故b1，c3.,答案13,课堂小结,返回,1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.,
