《人教A数学选修21同课异构教学课件231双曲线及其标准方程精讲优练课型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A数学选修21同课异构教学课件231双曲线及其标准方程精讲优练课型（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3双曲线 2.3.1双曲线及其标准方程,【自主预习】 1.双曲线的定义 (1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的_ 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.,绝对值,(2)定义的集合表示:M|MF1|-|MF2|=2a,02a |F1F2|. (3)焦点:两个_. (4)焦距:_的距离,表示为|F1F2|.,定点F1,F2,两焦点间,2.双曲线的标准方程,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),a2+b2,【即时小测】 1.已知平面上定点F1,F2及动点M,命题甲:|MF1|-|MF2|=2a(a为常数),命题乙:M点的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,则甲是乙的
2、() A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选B.根据双曲线的定义:乙甲,但甲 乙,只有当2a|F1F2|且a0时,其轨迹才是双曲线.,2.满足条件a=2,一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方 程为. 【解析】由a=2,c=4,得b2=c2-a2=12,又因为一焦点 (4,0)在x轴上, 所以双曲线的标准方程为 =1. 答案: =1,3.P是双曲线x2-y2=16的左支上一点,F1,F2分别是其左、右焦点,则|PF1|-|PF2|=. 【解析】双曲线的方程可化为 =1, 所以|PF1|-|PF2|=-2a=-8. 答案:-8,4.双曲线的方程为x2-2y2
3、=1,则它的右焦点坐标为.,【解析】将双曲线的方程化为标准形式x2- =1, 所以a2=1,b2= , 所以c= 所以右焦点坐标为 . 答案:,【知识探究】 探究点1双曲线的定义 1.双曲线的定义中,若2a=|F1F2|,则点P的轨迹是什么? 提示:点P的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线.,2.若2a|F1F2|,则点P的轨迹是什么? 提示:点P的轨迹不存在. 3.定义中若常数为0,则点P的轨迹是什么? 提示:若定义中常数为0,此时点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.,【归纳总结】 对双曲线定义的两点说明 (1)定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左、右
4、焦点, 若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上; 若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.,(2)双曲线定义的双向运用: 若|MF1|-|MF2|=2a(02a|F1F2|),则动点M的轨迹为双曲线. 若动点M在双曲线上,则|MF1|-|MF2|=2a.,特别提醒:理解双曲线的定义要把握好两点:(1)平面内的动点到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为非零常数.(2)该常数要小于焦距|F1F2|.,探究点2双曲线的标准方程 1.在双曲线的标准方程中一定有ab吗? 提示:在双曲线的标准方程中a,b的关系不确定.,2.mx2+ny2=1(mn0)是双曲线的方程吗?焦点怎样确定? 提示
5、:mx2+ny2=1(mn0)是双曲线的方程,焦点不能确定,可能在x轴上,也可能在y轴上.,【归纳总结】 双曲线标准方程的四点说明 (1)只有当双曲线的两焦点F1,F2在坐标轴上,并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程.,(2)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里的b2=c2-a2与椭圆中的b2=a2-c2相区别.,(3)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.,(4)双曲线的焦点位置不确定时可设其
6、标准方程为Ax2+By2=1(AB0). 易错警示:明确焦点在x轴和y轴上的标准方程的形式,注意与椭圆的区别.,类型一双曲线的定义及应用 【典例】1.若双曲线 上一点P到点(5,0)的 距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为() A.7 B.23 C.5或25 D.7或23,2.(2016淄博高二检测)已知双曲线 的 左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得 F1PF2=60,求F1PF2的面积.,【解题探究】1.典例1中点(5,0)与双曲线有什么关系? 提示:由双曲线方程可知,c2=a2+b2=25,故点(5,0)是双曲线的焦点.,2.典例2中,怎样得到|F1F2|,|PF1|,
7、|PF2|三者满足的 关系式?三角形的面积怎样表示? 提示:利用余弦定理得到|F1F2|,|PF1|,|PF2|三者满足 的关系式.利用 |PF1|PF2|sinF1PF2将面积表 示出来.,【解析】1.选D.因为双曲线 ,a2=16,b2=9, 所以2a=8,2b=6, 所以c= =5,(5,0),(-5,0)是两个焦点, 因为点P到点(5,0)的距离为15, 则点P到点(-5,0)的距离是15+8=23或15-8=7.,2.由 , 得a=3,b=4,c=5. 由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=6, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60, 所以1
8、02=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|, 所以|PF1|PF2|=64,所以 |PF1|PF2|sinF1PF2 = 64 =16 .,【延伸探究】本例2中若F1PF2=90,其他条件不变,求F1PF2的面积. 【解析】由双曲线方程知a=3,b=4,c=5, 由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a=6, 所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36,在RtF1PF2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=100 将代入得:|PF1|PF2|=32, 所以 |PF1|PF2|=16.,【方法技巧】求双曲线中焦点三角形面积的方法
9、(1)方法一: 根据双曲线的定义求出|PF1|-|PF2|=2a. 利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式.,通过配方,利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值. 利用公式 |PF1|PF2|sinF1PF2求得 面积.,(2)方法二:利用公式 |F1F2|yP|(yp为P点 的纵坐标)求得面积. 特别提醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题, 一是要注意定义条件|PF1|-|PF2|=2a的变形使用,特 别是与|PF1|2+|PF2|2,|PF1|PF2|间的关系.,【变式训练】(2016武汉高二检测)已知双曲线C的方 程为 =1,其左、右焦点分别是F1,F
10、2.已知点M坐 标为(2,1),双曲线C上点P(x0,y0)(x00,y00)满足 ,求 .,【解题指南】利用 ,得出MF1P= MF1F2,进而求出直线PF1的方程为y= (x+3),与 双曲线联立可得P ,由此即可求出 .,【解析】因为 所以| |cosMF1P=| |cosMF1F2, 所以MF1P=MF1F2. 因为cosMF1F2= , 所以cosPF1F2=2cos2MF1F2-1= ,所以tanPF1F2= , 所以直线PF1的方程为y= (x+3). 与双曲线联立可得P , 所以|PF1|= . 因为sinMF1F2= ,所以 因为 所以,类型二求双曲线的标准方程 【典例】已知
11、双曲线过P1 和P2 两点,求双曲线的标准方程. 【解题探究】双曲线的焦点确定吗?应怎样求解? 提示:双曲线的焦点不确定,应分类讨论求解.,【解析】方法一:当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线 方程为 (a0,b0). 因为P1,P2在双曲线上, 所以,解之得 (不合题意,舍去) 当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为 (a0,b0). 因为P1,P2在双曲线上,所以 解之得,即a2=9,b2=16. 所以所求双曲线方程为 .,方法二:因为双曲线的焦点位置不确定, 所以设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0). 因为P1,P2在双曲线上, 所以 解得 所以所求双曲线的标准方程为 .,【延伸
12、探究】 1.将本例条件改为“焦点在x轴上,经过点P(4,-2)和点 Q(2 ,2 )”,试求双曲线的标准方程.,【解题指南】因为焦点在x轴上,故可设其标准方程为 (a0,b0),代入点的坐标,解方程组求出 a2,b2,也可以直接设方程mx2+ny2=1(m0,n0).,【解析】方法一:因为焦点在x轴上,故可设其标准 方程为 (a0,b0),代入点的坐标得 解得a2=8,b2=4, 所以双曲线的方程为,方法二:设双曲线方程为mx2+ny2=1(m0,n0),则 所以 所以双曲线方程为,2.将本例条件改为“已知双曲线过点(3,-4 ), 点 ”,求双曲线的标准方程”.,【解析】因为双曲线的焦点位置
13、不确定, 所以设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0). 将两点坐标代入得 解得 所以双曲线的标准方程为 .,【方法技巧】求双曲线标准方程的步骤 (1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式. (2)定量:是指确定a2,b2的数值,常由条件列方程组求解.,特别提醒:若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,为简单起见,常标明条件mn0.,【拓展延伸】双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较,【补偿训练】求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)一个焦点是(0,-6),经过点A(-5,6). (2)a=
14、5,c=7.,【解析】(1)由已知c=6,且焦点在y轴上,另一焦点为(0,6). 由双曲线定义 所以a=4,所以b2=c2-a2=20. 所以所求双曲线的标准方程为,(2)因为已知a=5,c=7,所以b2=c2-a2=24,焦点位置不 确定, 所以所求双曲线的标准方程为,类型三与双曲线有关的轨迹问题 【典例】(2016临沂高二检测)求与圆A:(x+5)2+ y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程.,【解题探究】典例中|PA|与|PB|之间有什么关系? 提示:|PA|-|PB|=6.,【解析】设动圆P的半径为R,且点P(x,y), 则|PA|=R+7,|PB|=R+
15、1, 所以|PA|-|PB|=610=|AB|, 所以点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,这里a=3,c=5,所以b2=16. 故方程为 (x3).,【方法技巧】定义法求双曲线方程的注意点 (1)注意条件中是到定点距离之差,还是差的绝对值. (2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题. (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上.,【变式训练】已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程. 【解题指南】利用两圆内、外切的充要条件找出M点所满足的几何条件,结合双曲线定义求解.,【解析
16、】设动圆M的半径为r,则由已知得: |MC1|=r+ ,|MC2|=r- , 所以|MC1|-|MC2|=2 . 又C1(-4,0),C2(4,0), 所以|C1C2|=8, 所以2 |C1C2|.,根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. 因为a= ,c=4,所以b2=c2-a2=14, 所以点M的轨迹方程是 =1(x ).,【补偿训练】在MNG中,已知NG=4,当动点M满足条件 sinG-sinN= sinM时,求动点M的轨迹方程. 【解题指南】条件给的是角的关系,可用正弦定理化角的关系为边的关系,再考虑用定义求轨迹方程.,【解析】以NG所在的直线为x轴,以线段NG的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 因为sinG-sinN= sinM, 所以由
