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1、一、函数单调性的判定法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、曲线的凹凸与拐点,函数的性质与函数图像,曲线的凹凸性,第三章,三、函数的极值、最值问题,四、函数图像的描绘,讨论课问题：,（1）：请说出函数单调性的判别定理,（2）：什么是拐点、凹函数、凸函数？如何判断 凹凸性,（3）：请说明求闭区间连续函数极值、最值的步骤。,（4）：请叙述渐近线的种类及求法。,（5）：一般作图需要考虑哪些方面？试举例。,问题一： 函数单调性的判定法,若,定理 1. 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证: 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,机动
2、 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,说明:,单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.,例如,2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义 . 设函数,在区间 I 上连续 ,(1) 若恒有,则称,图形是凹的;,(2) 若恒有,则称,连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .,图形是凸的 .,问题二:曲线的凹凸与拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.(凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,证:,利用一阶泰勒公式可得,两式相加,说明 (1
3、) 成立;,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数,在区间I 上有二阶导数,证毕,例1. 判断曲线,的凹凸性.,解:,故曲线,在,上是向上凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:,若曲线,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题三（1）：函数的极值及其求法,定义:,在其中当,时,(1),则称 为 的极大点 ,称 为函数的极大值 ;,(2),则称 为 的极小点 ,称 为函数的极小值 .,极大点与极小点统称为极值点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结
4、束,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或 不存在的点.,1) 函数的极值是函数的局部性质.,例如,为极大点 ,是极大值,是极小值,为极小点 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理 3 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(自证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理4 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,证: (1),存在,由第一判别法知,(2) 类似可证 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理5 (判别法的推广),则:,数 , 且,1) 当 为偶数时,是极小点 ;,是极
5、大点 .,2) 当 为奇数时,为极值点 , 且,不是极值点 .,当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,故结论正确 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,利用 在 点的泰勒公式 ,可得,例如 ,极值的判别法( 定理1 定理3 ) 都是充分的.,说明:,当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .,例如:,为极大值 ,但不满足定理3, 定理5 的条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题三（2）：最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
6、特别:,当 在 内只有一个极值可疑点时,当 在 上单调时,最值必在端点处达到.,若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 .,(小),对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的,可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,(小),机动 目录 上页 下页 返回 结束,无渐近线 .,点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,问题四：曲线的渐近线,定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点,时,则称直线 L 为,曲线C 的渐近线 .,例如, 双曲线,有渐近线,但抛物线,或“纵坐标差”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 水平与铅直渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,例
7、2. 求曲线,的渐近线 .,解:,为水平渐近线;,为垂直渐近线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 斜渐近线,斜渐近线,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求曲线,的渐近线 .,解:,又因,为曲线的斜渐近线 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,问题五：函数图形的描绘,步骤 :,1. 确定函数,的定义域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;,4. 求渐近线 ;,5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .,为 0 和不存在,的点 ;,并考察其对称性及周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 描绘,的图形.,解: 1) 定义域为,无对称性及周期性.,2),3),拐点,4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,
