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1、第2课时 分段函数及映射,【知识提炼】 1.分段函数 (1)前提:在函数的定义域内. (2)条件:在自变量x的不同取值范围内,有着_. (3)结论:这样的函数称为分段函数.,不同的对应关系,2.映射 (1)前提:A,B是两个_的集合. (2)对应关系:按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个 元素x,在集合B中有_的元素y与之对应. (3)结论:f:AB称为_的一个映射.,非空,唯一确定,从集合A到集合B,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)“分段函数有几段就是几个函数”这句话正确吗? 提示:不正确,分段函数是一个函数,而非几个函数,只不过在定义域的不同子集上其解析式不同而已.
2、(2)函数是映射吗? 提示:是.对照映射和函数的定义可知函数是映射.,2.已知集合A=a,b,集合B=0,1,下列对应不是A到B的映射的是 (),【解析】选C.A,B,D均满足映射的定义,C不满足集合A中任一元素在集合B中都有唯一元素与之对应,且集合A中元素b在集合B中无元素与之对应.,3.下列给出的式子是分段函数的是() A.B.C.D.,【解析】选B.,4.已知集合A=N*,B=正奇数,映射f:AB,使A中任一元素a与B中元素2a-1相对应,则与B中元素17对应的A中的元素为() A.3B.5C.17D.9 【解析】选D.由题意知,17=2a-1,解得a=9.,5.已知函数f(x)= 则f
3、(2)+f(-2)=. 【解析】f(2)+f(-2)=0+(-2)2=4. 答案:4,【知识探究】 知识点1分段函数 观察如图所示内容,回答下列问题:,问题1:画分段函数的图象应注意什么? 问题2:分段函数的定义域、值域各有什么特点?,【总结提升】 对分段函数的四点说明 (1)研究分段函数的性质时,应根据“先分后合”的原则,尤其是在作分段函数的图象时,可先将各段的图象分别画出来,从而得到整个函数的图象.应特别注意各段图象端点是用实心点还是空心点表示. (2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集,其值域是各段“值域”的并集.写定义域时,区间端点需不重不漏.,(3)图象:分段函数的图象由几部分构
4、成,有的可以是光滑的曲线,有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等. (4)求值关键:求分段函数的某些函数值的关键是“分段归类”,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式,一定要坚持定义域优先的原则.,知识点2映射 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:映射有什么特征? 问题2:函数与映射有什么关系?,【总结提升】 1.映射的特征 (1)任意性:A中任意元素x在B中都有元素y与之对应. (2)唯一性:A中任意元素x在B中都有唯一元素y与之对应. (3)方向性:f:AB与f:BA一般是不同的映射.,2.函数与映射的关系,【题型探究】 类型一映射的概念及运用 【典例】1.下列对应能构成
5、从A到B的映射的是() A=B=N*,f:x|x-2|; A=x|x2,xN,B=y|y0,yZ,f:xy=x2-2x+3; A=平面内的圆,B=平面内的矩形,对应关系f:作圆的内接矩形; A=高一一班的男生,B=男生的身高,对应关系f:每个男生对应自己的身高. A.B.C.D.,2.设集合A=B=(x,y)|xR,yR,从A到B的映射f:(x,y) (x+2y,2x-y).在映射下,B中的元素(1,1)对应A中的元素() A.(1,3)B.(1,1) C. D.,【解题探究】1.典例1中判断对应是映射的依据是什么? 提示:判断对应是映射的依据是映射的定义. 2.典例2中对应关系是什么? 提示
6、:典例2中对应关系是将集合A中的点的横坐标变为原横坐标与纵坐标2倍的和,点的纵坐标变为原横坐标的2倍减去纵坐标.,【解析】1.选C.不是.当x=2A时,|x-2|=0B,即A中的元素2在B中 没有元素和它对应,所以不是映射;是.因为y=x2-2x+3=(x-1)2+2 2,所以对任意的x,总有y2.又当xN时,x2-2x+3必为整数,即yZ.所以当xA时,x2-2x+3B.所以对A中每一个元素x,在B中都有唯一的y与之对应.故是映射;因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射;对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一一个元素与之对应,
7、符合映射定义,是映射.,2.选C. 由题意得 即B中的元素(1,1)对应A中的元素,【方法技巧】 1.判断一个对应是不是映射的两个关键 (1)对于A中的任意一个元素,在B中是否有元素与之对应. (2)B中的对应元素是不是唯一的. 提醒:“一对一”或“多对一”的对应才可能是映射.,2.求对应元素的两种类型及处理思路(对映射f:AB) (1)若已知A中的元素a,求B中与之对应的元素b,这时只要将元素a代入对应关系f求解即可. (2)若已知B中的元素b,求A中与之对应的元素a,这时构造方程(组)进行求解即可,需注意解得的结果可能有多个.,【补偿训练】下列对应是不是从A到B的映射,为什么? (1)A=
8、(0,+),B=R,对应关系是“求平方根”. (2)A=x|-2x2,B=x|0y1,对应关系是f:xy= (其中xA,yB). (3)A=x|0 x2,B=y|0y1,对应关系是f:xy=(x-2)2(其中xA,yB). (4)A=x|xN,B=-1,1,对应关系是f:xy=(-1)x(其中xA,yB).,【解析】(1)不是从A到B的映射.因为任何正数的平方根都有两个,所以对A中任何一个元素,在B中都有两个元素与之对应. (2)是从A到B的映射.因为A中每个数的平方除以4后,都在B中有唯一的数与之对应. (3)不是从A到B的映射.因为A中有的元素在B中无元素与之对应.如0A,而(0-2)2=
9、4B. (4)是从A到B的映射.因为A中每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.,类型二 分段函数求值问题 【典例】已知函数 试求f(-5)，f(- )，f(f(- )的值.,【解题探究】典例中求f(f(- )的值时应先求哪个值？ 提示：应先求f(- )的值.,【解析】由-5(-，-2，- (-2,2)， - (-，-2，知f(-5)=-51=-4， f(- )=(- )22(- )=3-2 .,【延伸探究】 1.(改变问法)本例条件不变,若f(a)=3,求实数a的值.,【解析】当a-2时,f(a)=a+1, 所以a+1=3,所以a=2-2不合题意,舍去. 当-2a2时,a2+2a=3, 即a
10、2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,所以a=1或a=-3. 因为1(-2,2),-3(-2,2), 所以a=1符合题意. 当a2时,2a-1=3,所以a=2符合题意. 综合,当f(a)=3时,a=1或a=2.,2.(改变问法)本例条件不变,若f(m)m(m-2或m2),求实数m的取值范围. 【解析】f(m)m,即 即m-2或 所以m-2或m2. 所以m的取值范围是(-,-22,+).,【方法技巧】 1.分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间. (2)代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0)的形式时,应从内到外依次求值.,2.已知函数值求字
11、母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论. (2)然后代入到不同的解析式中. (3)通过解方程求出字母的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.,【补偿训练】设函数f(x)= 则f(f(3)=( ) 【解析】选D.当x=3时，f(3)= 1， 所以f(f(3)=,类型三分段函数的图象及应用 【典例】1.函数y=x+ 的图象是(),2.已知函数f(x)=1 (-2x2) (1)用分段函数的形式表示该函数. (2)画出该函数的图象. (3)写出该函数的值域.,【解题探究】1.典例1中的绝对值如何去掉?去掉后的解析式是什么? 提示:根据x的范围去掉绝对值号,当x0时,y=x+1,当x0时
12、,y=x-1,故 2.典例中含有绝对值,应如何化简函数解析式? 提示:化简函数解析式时应根据绝对值的几何意义,分情况化简.,【解析】1.选C.对于y=x ，当x0时，y=x1； 当x0时，y=x-1.即y= 故其图象应为C. 2.(1)当0 x2时， f(x)=1 =1， 当-2x0时，f(x)=1 =1-x. 所以f(x)=,(2)函数f(x)的图象如图所示: (3)由(2)知,f(x)在(-2,2上的值域为1,3).,【方法技巧】 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型:根据自变量在不同范围内的图象的特点,先确定函数的类型. (2)设函数式:设出函数的解析式. (3)列方程
13、(组):根据图象中的已知点,列出方程或方程组,求出该段内的解析式. (4)下结论:最后用“”表示出各段解析式,注意自变量的取值范围.,2.作分段函数图象的注意点 求作分段函数的图象时,定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接,断开时要分清断开处是实心点还是空心点.,【变式训练】下列图形是函数y= 的图象的是(),【解析】选C.由于f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1);当x0时,y=x2,则函数是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有图形C符合.,【补偿训练】国内某快递公司规定:重量在1000克以内的包裹快递邮资标准如下表:,如果某人从北京快递900克的包
14、裹到距北京1300 km的某地,他应付的邮资是() A.5.00元B.6.00元C.7.00元D.8.00元,【解析】选C.邮资y与运送距离x的函数解析式为 因为1 300(1 000,1 500,所以y=7.00.,巧思妙解 数形结合巧解与分段函数有关的问题 【典例】已知f(x)= 则满足不等式f(1-x)f(x)的x的取值范围是.,【常规解法】根据题意求x的取值范围,需分四种情况讨论,具体如下: 当1-x0且x0,即0 x1时,由f(1-x)f(x), 得(1-x)2x2,解得x ,所以0 x ; 当1-x0且x0,即x0时,由f(1-x)f(x),得(1-x)2+11,解得x1时, 由f(1-x)f(x),得1x2+1,此时不成立. 综上可知,所求x的取值范围是 答案:,【巧妙解法】画出函数f(x)= 的图象， 如图所示，由图象可知，若f(1-x)f(x)，,则 解得x ，即满足要求的x的取值范围是 答案：,【方法指导】图象法巧解不等式的技巧 函数的图象与函数值间具有密切的关系,在函数图象上方的函数值大于下方所有函数图象对应的函数值,故可以根据函数图象的上、下位置关系,把不等式的解的问题转化为数量关系求解.如本例中借助分段函数的图象可以直接把求解的问题转化为1-x与x的关系求解.,
