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1、2.3 幂函数,【知识提炼】 1.幂函数的概念 函数_叫做幂函数,其中自变量是_,_是常数.,y=x,x,2.幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象:,(2)幂函数的性质:,R,R,R,0,+),(-,0)(0,+),R,0,+),R,0,+),y|yR且y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,增,增,减,增,增,减,减,(1,1),【即时小测】 1.思考下列问题 (1)二次函数都是幂函数吗?判断的依据是什么? 提示:不一定.如y=5x2,y=x2-3都不是幂函数,只有二次项系数为1,无一次项和常数项的二次函数才是幂函数.判断的依据是函数解析式要符合幂函数解析式的结构特征. (2)幂函数的图象是否
2、可以出现在坐标平面内的任意象限? 提示:不能.因为当x0时,x0,因此图象不能出现在第四象限.,2.下列所给的函数中,是幂函数的是() A.y=2x5B.y=x3+1 C.y=x-3 D.y=3x 【解析】选C.选项C符合y=x的形式,对于A系数不为1,B中含有常数项,而D是指数函数.,3.若y=ax3+(2b+4)是幂函数,则a-b的值为() A.-1B.1C.-3D.3 【解析】选D.由于y=ax3+(2b+4)是幂函数,则 解得a=1,b=-2,故a-b=3.,4.已知幂函数y=x的图象经过点(2,16),则f(-3)=. 【解析】由于幂函数y=x的图象经过点(2,16),即2=16,解
3、得=4,故f(-3)=(-3)4=81. 答案:81,【知识探究】 知识点1幂函数的概念 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:判定一个函数是否是幂函数应依据哪些特征? 问题2:幂函数和指数函数有哪些区别?,【总结提升】 1.幂函数解析式的结构特征 (1)指数为常数.(2)底数是自变量.(3)幂x的系数为1.,2.幂函数与指数函数的比较,知识点2幂函数的图象及性质 观察图形,回答下列问题:,问题1:观察上述图象.在第一象限,它们有何特点? 问题2:这些图象有何对称性?奇偶性如何?,【总结提升】 1.幂函数y=x在第一象限内的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)
4、指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点). (3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸). (4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点). (5)指数小于0,在第一象限为双曲线型.,五个幂函数在第一象限内的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖小横”即0(1)时的图象是抛物线型(1时的图象是竖直抛物线型,01时的图象是横卧抛物线型);0时的图象是双曲线型.,2.五个幂函数的奇偶性 幂函数y=x,y=x3,y=x-1为奇函数;幂函数y=x2为偶函数;幂函数y= 为非奇非偶函数.,3.幂函数三个常用的性质 (1)所有的幂函数在区间(0,+)上都有定义,且图象都过点(1,1).
5、 (2)0时,幂函数的图象经过原点,并且在区间(0,+)上是增函数.特别地,当1时,幂函数的图象下凸;当01时,幂函数的图象上凸. (3)0时,幂函数的图象在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴;当x趋于+时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.,【题型探究】 类型一幂函数的概念 【典例】1.下列函数:y= ;y= ;y=2x4;y=x3-2; y=(x+1)2;y=x;y=ax(0a1).其中幂函数的个数为() A.1B.2C.3D.4 2.(2015开封高一检测)已知幂函数f(x)=(m2-2m+2) 则f(-3)=.,【解题探究
6、】1.典例1中应从哪几个方面判定函数为幂函数? 提示:应从指数,底数,以及幂x的系数三方面判定. 2.典例2中的m2-2m+2应满足什么条件? 提示:应使m2-2m+2=1.,【解析】1.选B.为指数函数;中系数不为1;中的解析式为 多项式;中底数不是自变量本身,所以只有是幂函数,故选B. 2.由于f(x)=(m2-2m+2) 为幂函数,故m2-2m+2=1,解得m=1,所以f(x)=x2,则f(-3)=9. 答案:9,【延伸探究】若典例2中的函数“f(x)=(m2-2m+2) ”改为 “f(x)=(m2-m-1) ,且此函数为奇函数”,则f(-3)的值应为多少? 【解析】由于f(x)=(m2
7、-m-1) 为幂函数,则有m2-m-1=1,解得m=-1或m=2,又因为该函数为奇函数,则当m=-1时,f(x)=x6不符合;当m=2时,f(x)=x3,符合.故f(-3)=(-3)3=-27.,【方法技巧】求幂函数解析式的依据和常用方法 (1)依据:若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件. (2)常用方法: 设幂函数解析式为f(x)=x,依据条件求出.,【变式训练】已知函数f(x)=lg(m2+6)xm(xR)为幂函数,则f(3)=. 【解析】已知函数f(x)=lg(m2+6)xm(xR)为幂函数,则lg(m2+6)=1,即lg(m2+
8、6)=lg10,解得m=2,又函数的定义域为R,故m=2,则f(x)=x2,得f(3)=9. 答案:9,类型二幂函数的图象 【典例】1.如图是函数y= (m,nN*,m,n互质)的图象,则() A.m,n是奇数,且 1 C.m是偶数,n是奇数,且 1,2.(2015烟台高一检测)如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则有() A.-11 D.n1,3.如图,图中曲线是幂函数f(x)=x在第一象限内的大致图象,已知 取-2,- , ,2四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的的值依次为.,【解题探究】1.典例1中的函数y= 的定义域和值域分别是什么? 提示:由图象可以看出,定义域
9、是全体实数,而值域是非负数,由此可得m是偶数,n是奇数. 2.典例2中x(0,1)内任取同一个值时,这三个函数对应的图象的高低如何?图象的高低与指数的大小有怎样的对应关系? 提示:当x(0,1)时,这三个函数对应的图象由高到低的顺序为y=xn,y=x-1,y=xm.点低指数大.,3.典例3中当取-2,- 时,对应的函数在第一象限内的图象如何? 当取 ,2呢? 提示:当取-2,- 时,在第一象限内对应的图象是下降的;当取 ,2时,对应的图象是上升的.,【解析】1.选C.由图象知,函数为偶函数,所以m为偶数,n为奇数. 又函数图象在第一象限内上凸,所以 1. 2.选B.在(0,1)内取x0,作直线
10、x=x0,与各图象有交点,则“点低指 数大”由此可判定0m1,n-1. 3.由幂函数的图象与性质,0时不过原点,故C3,C4对应的值均 为负,C1,C2对应的值均为正;由增(减)快慢知曲线C1,C2,C3,C4的 值依次为2, ,- ,-2. 答案:2, ,- ,-2,【延伸探究】典例3中若将“-2,- , ,2”改为“1,2,3,4对应的函数图象分别为C1,C2,C3,C4”,那么1,2,3,4的大小关系为. 【解析】由C1,C2,C3,C4在第一象限内的图象可知:1,2应大于零;3,4应小于零,结合图象的增减快慢,曲线C1,C2,C3,C4的值的大小依次为1234. 答案:1234,【方法
11、技巧】解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越 大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+)上,指数越 大,幂函数图象越远离x轴,(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一 象限内的图象(类似于y=x-1或y= 或y=x3)来判断.,【拓展延伸】幂函数y=x(= ,m,n互质)的奇偶性 幂函数y=x的奇偶性是由m,n的值确定的,当m,n均为奇数时,y=x是奇函数;当m为偶数,n为奇数时,y=x是偶函数;当m为奇数,n为偶数时,y=x既不是奇函数,也不是偶函数.,【变式训练】已知
12、函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为.,【解题指南】结合函数在第一象限内的图象以及相应的判断规律进行辨别. 【解析】根据在第一象限内的图象可知:a0,b0,c1,bbc. 答案:abc,【补偿训练】函数y= 的图象大致是(),【解析】选B.函数y= 是定义域为R的奇函数，且此函数在 定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A，C.另外，因为 y= 所以当x(0,1)时， 函数y= 的图象在直线y=x的下方； 当x(1,+)时，函数y= 的图象在直线y=x的上方.故选B.,类型三利用幂函数的性质比较大小 【典例】比较下列各组数中两个数的大小:,【解题探究】本
13、典例(1)(2)中可以利用什么形式的幂函数来进行比较？ 提示：(1)中 的指数都是0.3，因此可以利用函数y=x0.3的增减性比较大小.,(2)中 的指数都是-1，因此可以利用函数y=x-1的增减性来比较大小. 【解析】(1)因为幂函数y=x0.3在(0,+)上是单调递增的， (2)因为幂函数y=x-1在(-,0)上是单调递减的，,【延伸探究】 1.(变换条件)若将典例(1)中的“ ”改为 又如何进行大小比较？ 【解析】因为 =30.3，而y=x0.3在(0,+)上是单调递增的，,2.(变换条件)若将典例(1)中的“ ”改为 又如何比较其大小？ 【解析】因为y1= 在x(0,+)上为减函数，又
14、0.30.3，所以 ，所以,【方法技巧】比较幂值大小的三种基本方法,【补偿训练】试比较 的大小. 【解析】因为y1= 在R上为减函数，又 又因为函数y2= 在x(0,+)上是增函数，且,【延伸探究】 1.若将“ ”改为“ ”，如何比较其大小？ 【解析】因为函数y= 在x(0,+)上是增函数，,2.若将“ ”改为“ ”，又如何比较其大小？ 【解析】因为函数y= 在x(0,+)上是减函数，,易错案例 利用幂函数的单调性求参数的范围 【典例】(2015大同高一检测)若(3-2a) (a-1) ,则实数a的取值范围为_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因
15、是对幂函数的定义域考虑不全面.在解答过程中只考虑了底数是同号,而忽略了底数不同号的情况,从而定义域考虑不全造成漏解.,【自我矫正】由题意可得，可利用幂函数y= 的单调性来求解， 类比y=x-1的单调性可得：若 则有x(a-1) ，则有如下三种可能： 故实数a的取值范围为(-,1) 答案:(-,1),【防范措施】 1.准确把握幂函数的单调性 对于幂函数y=x要分清0和0时的奇偶性和在(0,+)上的单 调性,如本例由y= 是奇函数且在(0,+)上是减函数,因此不要忘记该函数在(-,0)上也是减函数,由此可得不等式组. 2.加强分析问题的全面性 要明确五类幂函数的定义域,要全面分析问题,不要忽略某些方面.如本例中对于不等式,结合幂函数的单调性,对于底数有三种不等关系.,
