《新教材高中数学必修第一册第5章 5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材高中数学必修第一册第5章 5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算知识点两角差的余弦公式公式cos()cos cos sin sin 简记符号C()使用条件，为任意角思考两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？答案公式巧记为：两角差的余弦等于两角的同名三角函数值乘积的和，即余余正正1cos(6030)cos 60cos 30.()2，R时，cos()cos cos sin sin .()3对于任意实数，cos()cos cos 都不成立()4cos 30cos 120
2、sin 30sin 1200.()一、给角求值例1计算下列各式的值(1)cos ；(2)sin 460sin(160)cos 560cos(280)；(3)cos 105sin 105.解(1)cos coscos coscos.(2)原式sin 100 sin 160cos 200cos 280sin 100sin 20cos 20cos 80(cos 80cos 20sin 80sin 20)cos 60.(3)cos 105sin 105cos 60cos 105sin 60sin 105cos(60105)cos(45).反思感悟两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值
3、，利用两角差的余弦公式直接展开求解(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解跟踪训练1化简下列各式：(1)cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；(2)sin 167sin 223sin 257sin 313.解(1)原式cos21(24)cos 45.(2)原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin 13sin 43cos 13cos 43cos(13
4、43)cos(30).二、给值求值例2已知，且sin ，cos()，求cos 的值解因为，所以0，由cos()，得sin()，又sin ，所以cos ，所以cos cos()cos()cos sin()sin .延伸探究若把本例中的“，”改为“，”，求cos 的值解因为，所以2，由cos()，得sin()，又sin ，所以cos ，所以cos cos()cos()cos sin()sin .反思感悟给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或
5、凑角的变换常见角的变换有：()；2()()；2()()跟踪训练2(1)已知cos ，则cos .答案解析因为cos ，所以sin ，所以coscos cos sin sin (2)，为锐角，cos()，cos(2)，求cos 的值解因为，为锐角，所以0.又因为cos()，所以0，所以02.又因为cos(2)，所以02，所以sin()，sin(2)，所以cos cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin().三、给值求角例3已知，均为锐角，且cos ，cos ，求的值解，均为锐角，sin ，sin .cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.反思感
6、悟已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围(2)求所求角的某种三角函数值为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(3)结合三角函数值及角的范围求角提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案跟踪训练3已知cos ，cos()，且0，求的值解由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin().()cos cos()cos cos()sin sin().0，.1cos 47cos 137sin 47sin 137的值等于()A0 B1 C1 D.答案A解析原式cos(47137)cos(90)0.2已知cos ，则cos的值为()A.
7、B. C. D.答案D解析因为，所以sin ，所以coscos cossin sin.3已知锐角，满足cos ，cos()，则cos(2)的值为()A. B C. D答案A解析因为，为锐角，cos ，cos()，所以sin ，sin()，所以cos(2)cos cos()cos()cos sin()sin .4cos(35)cos(25)sin(35)sin(25) .答案解析原式cos(35)(25)cos(60)cos 60.5cos 75cos 15的值等于 答案解析原式cos(12045)cos(4530)cos 120cos 45sin 120sin 45(cos 45cos 30s
8、in 45sin 30).1知识清单：(1)两角差的余弦公式的推导(2)给角求值，给值求值，给值求角2方法归纳：角的构造3常见误区：求角时忽视角的范围1cos 165等于()A. B. C D答案C解析cos 165cos(18015)cos 15cos(4530)(cos 45cos 30sin 45sin 30).故选C.2满足cos cos sin sin 的一组，的值是()A， B，C， D，答案B解析由已知得cos()cos cos sin sin ，故选B.3已知cos ，sin ，是第三象限角，则cos()的值是()A B. C. D答案A解析cos ，sin .又sin ，是第
9、三象限角，cos .cos()cos cos sin sin .4已知sin sin 1，cos cos ，则cos()的值为()A. B. C. D1答案B解析因为sin sin 1，所以sin22sin sin sin2.又因为cos cos ，所以cos22cos cos cos2.所以得2cos()，所以cos()，故选B.5若cos()，sin，那么cos的值为()A. B. C. D.答案C解析因为，所以(0，)，.又因为cos()，sin，所以sin()，cos，所以coscoscos()cossin()sin.故选C.6化简：sin()sin()cos()cos() .答案co
10、s(2)解析原式sin()sin()cos()cos()cos()cos()sin()sin()cos()()cos(2)7在ABC中，sin A，cos B，则cos(AB) .答案解析因为cos B，且0B，所以B，所以sin B，且0A，所以cos A，所以cos(AB)cos Acos Bsin Asin B.8在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，则cos() .答案解析因为角与角均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sin sin ，cos cos ，所以cos()cos cos sin sin cos2sin2(1sin2)sin22sin21221.9若x，且sin x，求2cos2cos x的值解因为x，sin x，所以cos x.所以2cos2cos x22cos x22cos xsin xcos x.10已知sin，且，求cos 的值解因为sin，且，所以.所以cos.所以cos coscoscos sinsin .11已知cos，则cos xcos的值是()A B C1
