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1、中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 让我们一起领略反比例函数的神奇 一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟 1. 为何正比例函数的比例系数是比 x y k，而反比例函数的比例系数却不是比xyk？ 2. 为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至 多探究一下k的几何意义（面积） ，例如 2016 年台州市中考考查的也是“函数的研究 通法”，并非专门深入研究反比例函数. 3. 过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开 多元方程、分式方程、高次方程. 4. 个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究
2、更纯粹的数学，站在更高的位置来 了解数学本质！做到居高临下、解有依据！ 5. 实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积 比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇. 二、一道曾经困惑我多时的中考题 某年宁波市中考的填空压轴题: 如图，AOBRt 的顶点B(，)，双曲线 x k y经过 点C、D，当以B、C、D为顶点的三角形与AOB的相似时，则k . 1. 常规性解法： 通过设元，例如设C(m，m) ，则D(，m) ，再根据条件列方程： (1) 利用CDBC、 CDBC、CDBD或CDBD列方程； (2) 利用)( DCCD yyxx列方程
3、； (3)利用“一线三等角”模型、和 DDCC yxyx列方程 . 实际上， 在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了， 具体操作方法中也具 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！ 2. 挖掘隐含性质，巧解此题 (1)实际上，此图中含有一些很重要的性质： 过点C作yCP轴于P，连接PA，直线CD分别交 坐标轴于点M、N. 则有PACD； ANPC，ADPM； DNMC，CNMD. 基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法（整体思想）： 由OMON，PMADAN可得，)(PMOMANO
4、N， 即OPOA，于是OAOP ，OPPC， (3)我一个同事的解法（斜边转直比）： 由:CNOCMC，DNMC可得，:DNCDMC， 转为横比，:)(:)(: DNCDC xxxxx，因此OAxC， (4)我一个学生的解法（斜等转直等）： 由CNMD得OAxx CN ，则)( CNC xxy， (5)我的第二种解法（平行导角度）： 由PACD得，BMNOPAO，于是OAOP ， (6)下面我们要着重解决两件事： 上述性质是否永远成立？如何证明？ 解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有 斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍. 三、探究
5、性质 1. 如图，双曲线 x k y与矩形OABC边交于点M、N，直线MN交坐标轴于点D、E. 如图 1，若: ABAM，则CBCN:； 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 如图 2，若: ABAM，则CBCN:； 如图 3，若nABAM:，则CBCN:， 直线MN与AC的位置关系是，EN与MD的大小关系 . 图 1 图 2 图 3 2. 如图 1，双曲线 x k y与直线DE交于点M、N，yMA轴于点A，xNC轴于 点C，请探究直线MN与AC的位置关系，线段EN与MD的大小关系 . 如图 2，双曲线 x k y与直线EF交于点M、N，yMA轴于A，xMC轴于C
6、， yND轴于D，xNB轴于B，请探究直线MN与AB、CD的位置关系，以及 线段ME与FN的大小关系 . 图 1 图 2 四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长 1. 如图，直线xy反比例函数 x k y(x) 图象交直线AB 于点C、D，且CDAB， 则k的值为 . (1)常规方法（斜长转直长）： ABCD，则CDxx CD ， 可设C(m，m) ，则D(m，m) ，列方程解决； 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 (2)口算巧解（斜边转直比）： 由DBAC，CDAB得，:DBCDAC，转为横比得， :)( :)(: DBCDC xx
7、xxx，则 C x， C y， 2. 同类变式题： 如图，直线xy交坐标轴于点A、B， 双曲线 x k y交直线AB于点C、D. 若ABCD，则k的值为； 3. 难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8 题， 2017/3/29 ） 如图，点A(，) ，B，C在双曲线上， o BAC，AB分别交x，y轴于D，F， AC分别交x，y轴于D，E. (1)求DOE的面积； (2)求证： DBCEADE SS 四边形 . 4. 原创清新小题和近年的中考题： (1)如图 1，BCAB，AOB的面积为，则k的值为 . (2)如图 2，点A，B在双曲线 x k y上运动，xAB轴，BC
8、AC. 在运动过程中，ABC的面积是不是定值？答：； 若k，且ABC是正三角形，则点A的坐标为 . (3)如图 3，OABC中， o B，OA，双曲线经过点C和AB中点D，则该双 曲线的解析式为 . (4)如图 4，直线xy 与xy分别与双曲线 x k y交于点A、B，BCOA， 则k的值为 . 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 图 1 图 2 图 3 图 4 (5)( 十堰 ) 如图 5，正AOB的边长为，双曲线 x k y经过点C、D，且OBCD， 则k的值为 . (6)如图 6，双曲线 x k y与直线bmxy交于点C、D. ( 原创、铺垫 ) 若m、b
9、，且CDAB，则k； ( 常州模拟改编) 若b，且CDAB，则mk； ( 杭州模拟改编) 若m，且ADAC，则k . (7)(据上题改编 )如图 7，P为双曲线 x y上的动点，过点P作矩形 PAOB，直线 CD的解析式为bxy ，交矩形边于M，N，则 DNCM . 图 5 图 6 图 7 五、面积比、边比互转 1. ( 原创、铺垫 ) 如图 1，直线xy 与双曲线 x y交于点A，C为双曲线上一点， 射线CA交y轴于点D，若COD的面积为，则点C坐标为； ( 成都 ) 如图 1，直线xy 与双曲线 x y交于点A、B，C为双曲线上一点， 射线CA交y轴于点D，若BCD的面积为，则点C坐标为
10、. 2.( 无锡 ) 如图 2，xAB轴，BCx轴，双曲线过点C、D，且: DBOD， 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 已知OBC的面积为，则k的值为 . 图 1图 1图 3 3.( 宁波 ) 如图 3，正AOB的顶点A在双曲线 x y 上，双曲线 x y 与边OA交于点C， 连接BC，则ABC的面积为 . 4.( 丽水 ) 如图 4，双曲线 x y 与直线bxy交于点A、B，AEx轴，设点A的 横坐标为m. 用含m的式子表示b； 若AOF与四边形BCEF的面积和为，则m . 5. 如图 5，双曲线 x k y与直线bmxy交于点C、D. ( 常州模拟 )
11、若b，且 CODAOB SS ，则mk； ( 改编自 ) 若k、m，且CDAB，则 COD S . 图 3 图 4 图 5 6. 如图 6，ABx轴，C为AB中点，延长OC到E，延长OA到D，若双曲线 x k y恰 好经过点D，E，且CEOC，则ODOA: . 7. 如图 7，双曲线 x k y过点A，B， x k y过点C，D，若AC，BD均与x轴平行， AC，BD，且它们之间的距离EF长为，则 kk . 8. 如图 8，直线AB交双曲线 x y于点C，D，若 AOB S，则 BOC S . 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 图 6 图 7 图 8 9. 如
12、图，点A在双曲线 x k y上，xAB轴，CDAD，DB延长线交y轴于E，若 BCE的面积为，则k的值为 . 10. 如图，点A、B在双曲线 x k y上，xAC轴，xBD轴，垂足C、D分别在x轴的 正半轴和负半轴上，kCD，ACAB ，E是AB的中点，若BCE面积是ADE 的倍，则k的值为 . 六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例 1. 如图 1，ABC中，BAOB， o OBA，双曲线 x k y经过点A、B，且点B的 纵坐标为，则k的值为 . (1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“K”形全 等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”
13、，见图 2，得m. (2) 后感：我们可以发现，矩形ODCE恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧 合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究 (3)探究 (2016 临沭模拟 ) ：如图 3，双曲线 x k y与矩形ODCE的边交于点A，B，若 设点B的坐标为 (a，b) ，且有ABOB，ABOB，则ba: . 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 图 1 图 2 图 3 2. 类似题： (2015 临海模拟填空压轴题) 如图， ABOA， o OAB，双曲线 x k y经过 点A，双曲线 x k y经过点B，已知点A的纵坐标 为，则k，点B的坐标为
14、 . ( 个人原创 ) 如图 2，ABC中， BAOB ， o OBA， 双曲线 x k y经过点B，双曲线 x k y经过点A，且 点B的纵坐标为，则k的值为 . 3. 难题展示（常州于新华老师原创题） (1)如图 1，点A(，) ，B均在双曲线 x k y上，过点A作y轴垂线，过点B作x轴 垂线，两垂线交于点P，垂足分别为E，F，将PAB沿AB翻折，点P恰好落在 x轴上的点Q处. 求点B的坐标 . (2)如图 2，点A(，) ，B均在双曲线 x k y上，过点A作y轴垂线，过点B作x轴 垂线，两垂线交于点 P，垂足分别为E，F，将 PAB沿AB翻折，点 P恰好落在 x轴上的点Q处. 求点B
15、的坐标 . 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！ 爱心 责任 奉献 图 1 图 2 4. 如图，矩形ABCD的边AB的解析式为kxy，顶点C，D在双曲线 x m y上. 若ADBtan，则点D的坐标为； 连接OC，OD，若COD是等边三角形， 则ADBtan . 后感：若能发现OBOA，本题将更简单！ 拓展：如图，正方形ABCD的顶点A、B在双曲 线 x y 上，C、D在双曲线 x y 上， 则正方形ABCD的面积为 . 5.(2013湖州模拟 ) 如图 1，矩形OABC的顶点A、B在 双曲线 x k y上，若点A(，) ，则点B的坐标为 . 6. 如图 2，矩形ABCD中，ADAB，点A(，) ，点C，D在双曲线 x k y上，若E为 AB中点，则 k的值为 . 图 1
