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1、学 海 无 涯 1 1. 办公室新来了一个雇员小王，小王是好人还是坏人大家都在猜测。 按人们主观意识，一个人是好人或坏人的概率均为 0.5。坏人总是 要做坏事，好人总是做好事，偶尔也会做一件坏事，一般好人做 好事的概率为 0.9，坏人做好事的概率为 0.2，一天，小王做了一 件好事，小王是好人的概率有多大，你现在把小王判为何种人。 解：A：小王是个好人 a：小王做好事 B：小王是个坏人 B：小王做坏事 ( ) ( /) (/ ) ( ) ( /)( ) ( /) P A P a A P A a P A P a AP B P a B = + 0.5*0.9 0.82 0.5*0.90.5*0.2
2、 = + ( ) ( /)0.5*0.2 (/ ) ( ) ( /)( ) ( /)0.5*0.90.5*0.2 P B P a B P B b P A P a AP B P a B = + =0.18 0.820.18 所以小王是个好人、 2. 设 m = 1,k = 2 ，X 1 N (0,1) ，X 2 N (3,2 2 ) ，试就 C(2 | 1) = 1，C(1 | 2) = 1，且不考虑先验概率的情况下判别样品 2，1 属于哪个总体，并求出 R = (R1, R2 ) 。 解： 22 22 1 21/8 2 11 ( )exp() /1,2 22 111 (2)exp(20) 0.
3、054 222 111 (2)exp(23) /40.176 22 22 2 iii i P xxi Pe Pe = = = 由于 1(2) P 2(1) P，所以 1 属于 1 由 1( ) P x= 22 2 1111 exp( )exp(3) / 4 2222 2 xP xx = 即 2 2 1 exp 2 x= 2 1 exp(69) 8 xx+ 22 11 ln2(69) 28 xxx= + 解得 1 x=1.42 2 x=-3.14.所以 R=(-3.41,1.42,(-,-3.41)U(1.42,+). 3.已知 1 ， 2 的先验分布分别为 1 q= 3 5 , 2 q= 2
4、5 ,C(2|1)=1，C(1|2)=1， 且 11 ,01 ( )2,12 0, xx fP xxx = 其他 22 (1)/ 4,13 ( )(5)/ 4,35 0, xx fP xxx = 其他 使判别 1 x= 9 5 ， 2 x=2 所属总体。 解： 1 p(9/5)=2-9/5=1/5 1 p(2)=2-2=0 2 p(9/5)=(9/5-1)/4=1/5 2 p(2)=(2-1/4)=1/4 11 q p= 3 5 * 1 5 = 3 25 22 q p= 2 5 * 1 5 = 2 25 11 q p=0 22 q p= 2 5 * 1 4 = 1 10 所以判 1 x= 9
5、5 属于 1 。同理可知 2 x=2 属于 2 。 4. 假设在某地区切片细胞中正常(1)和异常()两类的先验概 率分别为 P(1)=0.9，P(2)=0.1。现有一待识别细胞呈现出状 学 海 无 涯 3 态 x，由其类条件概率密度分布曲线查得 p(x|1)=0.2，p(x| )=0.4，试对细胞 x 进行分类 解：利用贝叶斯公式，分别计算出状态为 x 时 1 与 的后验 概率 根据贝叶斯决策有 P(1|x)0.818P(|x)0.182 判断为正常细胞，错误率为 0.182 判断为异常细胞，错误率为 0.818 因此判定该细胞为正常细胞比较合理 5 简述贝叶斯判别法的基本思想和方法 基 本
6、思 想 ： 设 k 个 总 体 k GGG, 21 ， 其 各 自 的 分 布 密 度 函 数 )(,),(),( 21 xxx k fff，假设 k 个总体各自出现的概率分别为 k qqq, 21 ， 0 i q，1 1 = = k i i q。设将本来属于 i G总体的样品错判到总体 j G时造成的损 失为)|(ijC，kji, 2 , 1,=。 设k个总体 k GGG, 21 相应的p维样本空间为 ),( 21k RRRR=。 在规则R下，将属于 i G的样品错判为 j G的概率为 xx dfRijP j R i )(),|( = jikji=, 2 , 1, 则这种判别规则下样品错判后
7、所造成的平均损失为 学 海 无 涯 4 = = k j RijPijCRir 1 ),|()|()|( ki, 2 , 1= 则用规则R来进行判别所造成的总平均损失为 = = k i i RirqRg 1 ),()( = = k i k j i RijPijCq 11 ),|()|( 贝叶斯判别法则， 就是要选择一种划分 k RRR, 21 ， 使总平均损失)(Rg 达到极小。 基本方法： = = k i k j i RijPijCqRg 11 ),|()|()( xx dfijCq k i k j R ii j = = 11 )()|( = = k j R k i ii j dfijCq 1
8、1 )()|(xx 令 1 ( | ) ( )( ) k iij i qC j i fh = = xx，则 = = k j R j j dhRg 1 )()(xx 若有另一划分),( * 2 * 1 * k RRRR=， = = k j R j j dhRg 1 * * )()(xx 则在两种划分下的总平均损失之差为 = = k i k j RR ji ji dhhRgRg 11 * * )()()()(xxx 因为在 i R上上)()(xx ji hh对一切 j 成立，故上式小于或等于零，是贝叶 斯判别的解。 从而得到的划分 ),( 21k RRRR= 为 1 |( )min( ) iij
9、j k Rhh =xxx ki, 2 , 1= 。 6已知：P(1)=0.005，P(2)=0.995， p(x=阳|1)=0.95，p(x=阴|1)=0.95， 学 海 无 涯 5 p(x=阳|2)=0.01，p(x=阴|2)=0.99 试计算判断阙值。 解：利用贝叶斯公式，有： 323. 0 995. 001. 0005. 095. 0 005. 095. 0 )()|()()|( )()|( )( )()|( )|( 2211 11 11 1 = + = =+= = = = = = PxpPxp Pxp xp Pxp xP 阳阳 阳 阳 阳 阳 似然比：95 0.01 0.95 )|p(x )|p(x 2 1 12 = = = = 阳 阳 l 判决阈值：197 0.005 0.995 )P( )P( 1 2 21 =
