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1、3.2均值不等式,证明：,1指出定理适用范围：,2强调取“=”的条件：,定理：,如果a, bR+，那么,证明：,即：,当且仅当a=b时,均值定理：,注意：1适用的范围：a, b 为非负数.,2语言表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。,看做正数a，b的等比中项，,那么上面不等式可以叙述为：,两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。,还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢?,几何直观解释：,令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为 和 的两条线段，然后比较这两条线段的长。,具体作图如下：,（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b,（2）以AB为直径作半圆
2、O；,（3）过D点作CDAB于D，交半圆于点C,（4）连接AC，BC，CA，则,当ab时，OCCD，即,当a=b时，OC=CD，即,例1已知ab0，求证： ，并推导出式中等号成立的条件。,证明：因为ab0，所以 ， 根据均值不等式得,即,当且仅当 时，即a2=b2时式中等号成立，,因为ab0，即a，b同号，所以式中等号成立的条件是a=b.,例2（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长是36m，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？,分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的
3、2倍的最小值； 在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。,解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有xy=100(m2)，,因为x0，y0，所以，,因此，即2(x+y)40。,当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=10。,因此，当这个矩形的长与宽都是10m时，它的周长最短，最短周长是40m.,（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)， 依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，,因为x0，y0，所以，,因此,将这个正值不等式的两边平方，得xy81,当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，,因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
4、它的面积最大，最大值是81m2。,规律：,两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；,两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。,例3求函数 的最大值，及此时x的值。,解： ，因为x0，,所以,得,因此f(x),当且仅当 ，即 时，式中等号成立。,由于x0，所以 ，式中等号成立，,因此 ，此时 。,下面几道题的解答可能有错，如果错了，那么错在哪里？,已知函数 ，求函数的最小值和此时x的取值,运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个条件,已知函数， 求函数的最小值,用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件,用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.,1.已知x0, y0, xy=24, 求4x+6y的最小值，并说明此时x,y的值,4 已知x0,y0,且x+2y=1,求 的最小值,2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值,练习题：,当x=6,y=4时,最小值为48,最小值为8,3.已知x0，求函数 的最大值.,
