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1、学 海 无 涯 共7页 1 有理数知识点总结归纳有理数知识点总结归纳 正数和负数正数和负数 正数和负数的概念 负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数 注意注意：字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表 示 0 时，-a 仍是 0。 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的， 例如+a,-a 就不能做出简单判断） 正数有时也可以在前面加“+” ，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数
2、相反意义的量，比如： 零上 8表示为：+8；零下 8表示为：-8 3.0 表示的意义 0 表示“ 没有” ，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人； 0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。如： 有理数有理数 1.有理数的概念 正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数） 正分数和负分数统称为分数 正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解理解：只有能化成分数的数才是有理数。是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-
3、2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。 2.有理数的分类 按有理数的意义分类 按正、负来分 正整数 正整数 整数 0 正有理数 负整数 正分数 有理数 有理数 0 （0 不能忽视） 正分数 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数） 负整数、0 统称为非正整数 正有理数、0 统称为非负有理数 负有理数、0 统称为非正有理数 数轴数轴 数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不 可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据
4、实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示， 正有理数可用原点右边的点表示， 负有理数可用原点左边 的点表示，0 用原点表示。 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数 学 海 无 涯 共7页 2 轴上的点不是一一对应关系。 （如，数轴上的点不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数； 两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 4.数轴上特殊的最大（小）数 最小的自然数是 0，无最大的自然数； 最小的正整数是
5、 1，无最大的正整数； 最大的负整数是-1，无最小的负整数 5.a 可以表示什么数 a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a0； a0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，则 a0 时，-a0（正数的相反数是负数） 当 a0（负数的相反数是正数） 当 a=0 时，-a=0， （0 的相反数是 0） 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略； “-”号的个数决定最后化简结 果；即： “-”的个数是奇数时，结果为负， “-”的个数是偶数时，结果为正。 学 海 无 涯 共7页 3 绝对值绝对值 绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点
6、的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。 2.绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0. 可用字母表示为： 如果 a0，那么|a|=a； 如果 a0，那么|a|=-a； 如果 a=0，那么|a|=0。 可归纳为：a0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。 ） a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。 ） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a| 0。即0 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0
7、.即：a=0 |a|=0； 一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.即：|a|0； 任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a； 绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0） ，则 x=a； 互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则|a|=|b|； 绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b； 若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为 0） 4.有理数大小的比较 利用数
8、轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小； 利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数 大于负数。 5.绝对值的化简 当 a0 时， |a|=a ； 当 a0 时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离， 一般地， 绝对值为同一个正数的有理数有两 个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。 有理数的加减法有理数的加减法 1.有理数的加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的
9、符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 互为相反数的两数相加，和为零； 一个数与零相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： 互为相反数的两个数先相加“相反数结合法” ； 符号相同的两个数先相加“同号结合法” ； 分母相同的数先相加“同分母结合法” ； 几个数相加得到整数，先相加“凑整法” ； 整数与整数、小数与小数相加“同形结合法” 。 3.加法性质 学 海 无 涯 共7页 4 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等
10、于原数。即： 当 b0 时，a+ba 当 b0 时，a+ba 当 b=0 时，a+b=a 4.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计 算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和” 按运算意义读作“负 8 减 7 减 6 加 5” 6.有理数加
11、减混合运算中运用结合律时的一些技巧： .把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法） =-33+18-15-1+23 （省略加号和括号） =(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合） =-49+41 （运用加法法则一进行运算） =-8 （运用加法法则二进行运算） .把和为整数的加数相结合 （凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)
12、 （将减法转换成加法） =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合） =4-10+3.8 （运用加法法则进行运算） =7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论） .把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） - 5 3 - 2 1 + 4 3 - 5 2 + 2 1 - 8 7 原式=(- 5 3 - 5 2 )+(- 2 1 + 2 1 )+(+ 4 3 - 8 7 ) =-1+0- 8 1 =-1 8 1 .既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后
13、结合） (+0.125)-(-3 4 3 )+(-3 8 1 )-(-10 3 2 )-(+1.25) 原式=(+ 8 1 )+(+3 4 3 )+(-3 8 1 )+(+10 3 2 )+(-1 4 1 ) = 8 1 +3 4 3 -3 8 1 +10 3 2 -1 4 1 学 海 无 涯 共7页 5 =(3 4 3 -1 4 1 )+( 8 1 -3 8 1 )+10 3 2 =2 2 1 -3+10 3 2 =-3+13 6 1 =10 6 1 .把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） -3 5 1 +10 11 6 -12 22 1 +4 15 7 原式=(-3+10-12+4)+(-
14、 5 1 + 15 7 )+( 11 6 - 22 1 ) =-1+ 15 4 + 22 11 =-1+ 30 8 + 30 15 - 30 7 .分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69) =0 .先拆项后结合 （1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100） 有理数的乘除法有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （ “同号得正，异号得负”专指“两数相乘” 的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同 0 相乘，都得 0；
15、 法则三：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0,则积等于 0. 2.倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为 a a 1 =1（a0） ，就是 说 a 和 a 1 互为倒数，即 a 是 a 1 的倒数， a 1 是 a 的倒数。 注意：0 没有倒数； 求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把 带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 （求一个数的倒数，不改变这个数的性质） ； 倒数等于它本身的数是 1 或-1,不包括 0。 3.有理数的乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即 ab=ba 学 海 无 涯 共7页 6
