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1、学 海 无 涯 1 高考数学大题高考数学大题 1（12 分）已知向量a=（sin，cos-2sin），b=（1，2） （1）若ab，求 tan的值； （2）若ab，且为第象限角，求 sin和 cos的值。 2(12 分) 在如图所示的几何体中，EA平面 ABC，DB平面 ABC，ACBC，且 AC=BC=BD=2AE， M 是 AB 的中点. (I)求证：CM EM：高考资源网 ()求 DE 与平面 EMC 所成角的正切值. 3（13 分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以 提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项 培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有
2、 60%，参加过计算机培训的有 75%.假设每个人对培训项目的选择是 相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. ()任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； ()任选 3 名下岗人员，求这 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率. 高考资源网 4（12 分） 在ABC 中，A BC 所对的边分别为 abc。 若 B A cos cos = a b 且 sinC=cosA 高考资源网 （1）求角 ABC 的大小； （2）设函数 f(x)=sin（2x+A）+cos（2x- 2 C ）,求函数 f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的 距离。 5（13 分）已知函数 f(x)=x+
3、 x a 的定义域为（0，+）且 f(2)=2+ 2 2 ，设点 P 是函数图象上的任意一点， 过点 P 分别作直线 y=x 和 y 轴的垂线，垂足分别为 M，N. 高考资源网 （1）求 a 的值； （2）问：|PM|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设 O 为坐标原点，求四边形 OMPN 面积的最小值。 6（13 分）设函数 f(x)=p(x- x 1 )-2lnx,g(x)= x e2 (p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若 f(x)在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； （2）若直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切，且与函数 f
4、(x)的图象相切于点（1，0），求 p 的值； （3）若在1，e上至少存在一点 x0，使得 f(x0)g(x0)成立，求 p 的取值范围. 高考资源网 7. (12 分)设P:函数y =ax 22x+1 在1,+)内单调递减,Q：曲线 y=x 22ax+4a+5 与 x轴没有交点；如 果“P或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值范围. 高考资源网 学 海 无 涯 2 8.（12 分）从集合1,2,3,4,5的所有非空子集 中，等可能地取出一个。 () 记性质r：集合中的所有元素之和为 10，求所取出的非空子集满足性质r的概率； () 记所取出的非空子集的元素个数为，求的分布列和数学期望E 高考
5、资源网 9. （12 分）已知函数 1 ( )ln(1),0 1 x f xaxx x =+ + ，其中0a ( )若( )f x在 x=1 处取得极值，求 a 的值； ( )求( )f x的单调区间； 高考资源网 （）若( )f x的最小值为 1，求 a 的取值范围。 10.（12 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥 面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2)x x+万元。 假设桥墩等距离分布， 所有桥墩都视为点， 且不考虑其他因素， 记余下工程的费用为y万 元。 （）试写出y关于x
6、的函数关系式； （）当m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？高考资源网 11. （12 分）若 ( )f x是二次函数，不等式( )0f x 的解集是(0,5),且 ( )f x在区间 1,4 上的最大值是 12；高考资源网 （I）求 ( )f x的解析式； （II） 是否存在实数,m使得方程 37 ( )0f x x +=在区间( ,1)m m+内有且只有两个不等的实数根？若存在， 求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 12. （14 分）已知函数 2 ( )(1)f xx= ，数列 n a是公差为 d 的等差数列， n b是公比为 q （,1qR q）的等比数列.若 1 (1)
7、,af d= 3 (1),af d=+ 1 (1),bf q= 3 (1).bf q=+ ()求数列 n a， n b的通项公式； 高考资源网 ()若 n c对nN，恒有 312 1 123 23 n n n cccc a bbbnb + +=，求 13521n cccc + 的值； ()试比较 31 31 n n b b + 与 1 2 n n a a + + 的大小. 答案： 1解：（1）absin+2cos-4sin=0tan= 3 2 6 分 （2）ab2sin-(cos-2sin)=0tan= 4 1 高考资源网 学 海 无 涯 3 sin=- 17 17 cos=- 17 174
8、6 分 2解析：本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推 理能力. 方法一： (I)证明：因为 AC=BC，M 是 AB 的中点， 所以 CMAB. 又 EA 平面 ABC， 所以 CMEM. ()解：连结 MD,设 AE=, 则 BD=BC=AC=2, 在直角梯形 EABD 中, AB=,M 是 AB 的中点,所以 DE=3,EM=,MD=因此 DMEM, 因为 CM平面 EMD,所以 CMDM,因此 DM平面 EMC, 故DEM 是直线 DE 和平面 EMC 所成的角. 在 RtEMD 中,MD=EM=,tanDEM= 方法二： 如图，以点为坐标原
9、点，以，分别为轴和轴，过点 作与平面垂直的直线为轴，建立直角坐标系， 设，则， .，. （I）证明：因为，高考资源网 所以， 故.（II）解：设向量与平面EMC垂直，则n, n, 即n=0,n=0. 因为, , 所以 y0=1,z0=2, 即n=(1, 1, 2). 因为=(), 高考资源网 cosn, = 学 海 无 涯 4 DE 与平面EMC所成的角是n与夹角的余角， 所以 tan=. 3解：任选 1 名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件 A，“该人参加过计算机培训”为事件 B， 由题设知，事件 A 与 B 相互独立，且 P(A)=0.6,P(B)=0.75. （）解法一 任选 1
10、名下岗人员，该人没有参加培训的概率是 P1=P()P()P()=0.40.250.1. 所以该人员参加过培训的概率是 1P110.10.9. 高考资源网 解法二 任选 1 名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 P2=P(A)P（B）0.60.250.40.750.45. 该人参加过两项培训的概率是 P1P（AB）0.60.750.45. 所以该人参加过培训的概率是 P2P10.450.450.9. （）解法一 任选 3 名下岗人员，3 人中只有 2 人参加过培训的概率是 P40.9 20.10.243. 3 人都参加过培训的概率是 P50.9 30.729. 所以 3 人中至少有 2 人参
11、加过培训的概率是 P4+P5=0.243+0.729=0.972. 解法二 任选 3 名下岗人员，3 人中只有 1 人参加过培训的概率是 0.90.1 20.027. 3 人都没有参加过培训的概率是 0.1 30.001. 所以 3 人中至少有 2 人参加过培训的概率是 10.0270.0010.972. 4 解：（1） 由 a b B A = cos cos 结合正弦定理得 A B B A sin sin cos cos =， 则 sin2A=sin2B,则在三角形中有 A=B， 或 A+B= 2 当 A=B 时，由 sinC=cosA 得 cosA=sin2A=2sinAcosA 得 si
12、nA= 2 1 或 cosA=0（舍） A=B= 6 ，C= 3 2 当 A+B= 2 时，由 sinC=cosA 得 cosA=1（舍） 综上：A=B= 6 ，C= 3 2 （6 分） （2）由（1）知 f(x)=sin(2x+ 6 )+cos(2x- 3 )=sin(2x+ 6 )+cos(- 2 +2x+ 6 ) =2sin(2x+ 6 ) 由 2k- 2 2x+ 6 2k+ 2 得 k- 3 xk+ 6 （kZ） 所以函数 f(x)的单调递增区间为k- 3 ,k+ 6 （kZ）（6 分） 学 海 无 涯 5 相邻两对称轴间的距离为 2 （1 分） 5解（1）f(2)=2+ 2 a =2
13、+ 2 2 ，a=2（3 分） （2）设点 P 的坐标为（x0,y0），则有 y0=x0+ 0 2 x ,x00 高考资源网 由点到直线的距离公式可知：|PM|= 2 | 00 yx = 0 1 x ，|PN|=x0, 故有|PM|PN|=1，即|PM|PN|为定值，这个值为 1（5 分） （3）由题意可设 M(t,t)，可知 N(0,y0). PM 与直线 y=x 垂直， kPM1=-1，即 tx ty 0 0 =-1， 解得 t= 2 1 （x0+y0），又 y0=x0+ 0 2 x t=x0+ 0 2 2 x . SOPM= 2 0 2 1 x + 2 2 ，SOPN= 2 1 2 0
14、x+ 2 2 高考资源网 SMPN= SOPM+ SOPN= 2 1 （ 2 0 x+ 2 0 1 x ）+21+2 当且仅当 x0=1 时，等号成立。 此时四边形 OMPN 面积有最小值 1+2（5 分） 6（1）f(x)= 2 2 2 x pxpx+ ，要使 f(x)为单调增函数，须 f(x)0 恒成立，即 px2-2x+p0 恒成立，即 p 1 2 2 +x x = x x 1 2 + 恒成立，又 x x 1 2 + 1， 所以当 p1 时，f(x)在(0,+)为单调增函数。 要使 f(x)为单调减函数，须 f(x) 0 恒成立， 即 px2-2x+00 恒成立，即 p 1 2 2 +x
15、 x = x x 1 2 + 恒成立，又 x x 1 2 + 0， 学 海 无 涯 6 所以当 p0 时，f(x)在(0,+ )为单调减函数。 综上所述，f(x)在(0,+)为单调函数，p 的取值范围为 p1 或 p0（4 分） （2）f(x)=p+ xx p2 2 ,f(1)=2(p-1)，设直线 l：y=2(p-1)(x-1)， y=2(p-1)(x-1) y= x e2 当 p=1 时，方程无解；当 p1 时由=(p-1)2-4(p-1)(-e)=0， 得 p=1-4e，综上，p=1-4e（4 分） （3）因 g(x)= x e2 在1，e上为减函数，所以 g(x)2，2e 当 p0 时，由（1）知 f(x)在1,e上递减f(x)max=f(1)=02，不合题意 当 p1 时， 由 （1） 知 f(x)在1,e上递增， f(1) 2， 又 g(x)在1,e上为减函数， 故只需 f(x)maxg(x)min， x1,e， 即：f(e)=p(e- e 1 )-2lne2p 1 4 2 e e . 当 0p1 时，因 x- x 1 0，x1,e 所以 f(x)=p(x- x 1 )-2lnx(x- x 1 )-2lnxe- e 1 -2lne2 不合题意 综上，p 的
