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1、学 海 无 涯 1 2020 江苏高考数学模拟考试 数学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应的位置上 1若函数cos() 3 yx =+(0)的最小正周期是，则= 2若复数(1 2 )(1)iai+是纯虚数，则实数a的值是 3已知平面向量(1, 1)a =，(2,1)bx=，且ab，则实数x= 4一个袋中有 3 个大小质地都相同的小球，其中红球 1 个，白球 2 个，现从袋中有放回 地取球，每 次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 5右图是某程序的流程图，则其输出结果为 6给出下列四个命题： （1） 如果平面与平面相交， 那么平面内所
2、有的直线都与平面 相交 （2）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 （3）如果平面平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直 线与平面也不垂直 （4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂 直于平面 真命题 的序号是 （写出所有真命题的序号） 7已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离 心率为 8已知二次函数( )f x = 2 41axxc+ +的值域是1,)+，则 19 ac +的最小值是 9 设函数 3 ( )32f xxx= +， 若不等式 2 (32sin )3fmm+对任意R恒成立， 则实数m的 取
3、值范围为 10若动点( , )P m n在不等式组 24 0 0 xy x y + 表示的平面区域内部及其边界上运动，则 1 nm t m = + 的取 值范围是 11在ABC中，AB边上的中线2CO=，若动点 P 满足 22 1 sincos 2 APABAC=+()R， 则()PAPBPC+的最小值是 12 设D是函数( )yf x=定义域内的一个区间， 若存在Dx 0 ， 使 00 ()f xx= ， 则称 0 x是( )f x的 一个“次不动点” ，也称( )f x在区间D上存在次不动点若函数 2 5 ( )3 2 f xaxxa=+在区间 开始 结束 1 (1) SS k k =+
4、+ 2011k 1+=kk 0=S 是 否 输出S 1k = （第5题） 学 海 无 涯 2 A B C D D1 C1 B1 A1 1,4上存在次不动点，则实数a的取值范围是 13 将所有的奇数排列如右表， 其中第i行第j个数表示为 ij a， 例如 32 9a= 若 445 ij a =，则ij+= 14若实数, ,a b c成等差数列，点( 1,0)P 在动直线0axbyc+=上的射影 为M，点(3,3)N，则线段MN长度的最大值是 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、 证明或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知AB
5、C中，A，B，C 的对边分别为, ,a b c，且2 coscoscosaBcBbC=+ （1）求角B的大小； （2）设向量(cos ,cos2 )mAA=，(12, 5)n =，求当m n取最大值时，tan() 4 A 的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，直四棱柱 1111 ABCDABCD中，底面 ABCD 是直角梯形，90BADADC=， 2ABAD=，CDAD= （1）求证： 1 BCB是二面角 1 BACB的平面角； （2）在 A1B1上是否存一点 P，使得 DP 与平面 BCB1与平面 ACB1都平行？证明你的结论 17 （本小题满分 14 分） 某货轮匀速行驶在相距 30
6、0 海里的甲、 乙两地间， 运输 成本由燃料费用和其它费用组成， 已知该货轮每小时的 燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为 0.5） ，其它费用为每小时m元， 根据市场调研， 得知m 的波动区间是1000,1600，且该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时 （1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 18 （本小题满分 16 分） 已知中心在原点O、焦点在x轴上的椭圆C过点(2,1)M，离心率为 3 2 如图，平行于OM的 直线l交椭圆C于不同的两点,A B （1）当直线l经过椭
7、圆C的左焦点时，求直线l的方程； （2）证明：直线,MA MB与x轴总围成等腰三角形 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 2 1 ( )(21)2ln 2 f xaxaxx=+，其中常数 0a （1）求( )f x的单调区间； （2）如果函数( ),( ), ( )f x H x g x在公共定义域 D 上， 满足( )( )( )f xH xg x，那么就称( )H x 为( )f x与( )g x的“和谐函数” 设 2 ( )4g xxx=， 1 3 5 7 9 11 （第 12 题） 学 海 无 涯 3 求证：当 5 2 2 a时，在区间(0,2上，函数( )f x与( )g x的
8、“和谐函数”有无穷多个 20 （本小题满分 16 分） 已知无穷数列 n a的各项均为正整数， n S为数列 n a的前n项和 （1）若数列 n a是等差数列，且对任意正整数n都有 () 3 3 n n SS=成立，求数列 n a的通项公式； （2）对任意正整数n，从集合 12 , n a aa中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运 算后所得数的绝对值为互不相同的正整数， 且这些正整数与 12 , n a aa一起恰好是 1 至 n S全体 正整数组成的集合 （i）求 12 ,a a的值； （ii）求数列 n a的通项公式 数学（附加题） 21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能
9、选做两题 ，每小题 10 分，共计 20 分请在答题卡指 定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修4 1：几何证明选讲 如图，设AB为O 的任一条不与直线l垂直的直径，P是O 与l的公共点，ACl，BDl， 垂足分别为 C、D，且PCPD=，求证：PB平分ABD B选修42：矩阵与变换 已知矩阵 12 2 A x = 的一个特征值为1，求另一个特征值及其对应的一个特征向量 C选修44：坐标系与参数方程 若直线 22 xt yt = = （参数Rt）与圆 cos sin x ya = =+ （参数0,2 )，a为常数）相切，求a 的值 D选修45：不等式选讲 若对于一切实
10、数x，不等式|21|1| | |21|xxxa+恒成立，求实数a的取值范围 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 一个口袋装有 5 个红球，3 个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出 3 个球，其 中绿球的个数记为X （1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率； （2）X的分布列及X的数学期望 23 （本小题满分 10 分） 学 海 无 涯 4 已知数列 n a中， 1 12a， 2 1 1 1 2 nnn aaa + = +(*)nN （1）求证：
11、 3 11 3 (, ) 8 2 a ； （2）求证：当3n时， 1 |2 | 2 n n a 2012 江苏高考最后一卷 试题答案与评分标准 数学 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分 1 【解析】本题主要考查三角函数的周期性 【答案】2 2 【解析】本题主要考查复数的概念和运算 【答案】 1 2 3 【解析】本题主要考查平面向量的垂直 【答案】3 4 【解析】本题主要考查古典概型 【答案】 4 9 5 【解析】本题主要考查流程图 【答案】 2011 2012 6 【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系 【答案】 （3） （4） 7 【解析】本题主要考查圆
12、锥曲线中离心率的计算 【答案】5 8 【解析】本题主要考查基本不等式 【答案】3 9 【解析】本题主要考查函数的性质 【答案】(, 4)(1,) + 10 【解析】本题主要考查线性规划 【答案】 2 ,4 3 解答如下： 画出可行域（如图所示阴影部分） ，而 1 1 11 nmn t mm + = + ， 其中 1 1 n m + + 表示( , )P m n与点( 1, 1) 连线的斜率k，由图可知 1 ,5 3 k，故 2 1 ,4 3 tk= 11 【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积 O 1 1 4 2 x y 学 海 无 涯 5 【答案】2 解答如下： 因为 2222 1 si
13、ncossincos 2 APABACAOAC=+=+且 22 sin,cos0,1， 所以点 P 在线段OC上，故()2PAPBPCPO PC+=，设|POt=(0,2)t，则 2 ()2 (2) ( 1)24PAPBPCtttt+= =，当1t =时取最小值2 12 【解析】本题主要考查函数的概念和最值 【答案】 1 (, 2 解答如下： 由题意，存在1,4x，使 2 5 ( )( )20 2 g xf xxaxxa=+=+=当1x =时，使 1 (1)0 2 g=； 当1x 时， 解得 2 45 2(1) x a x = 设 2 45 ( ) 2(1) x h x x = ， 则由 2
14、22 252 ( )0 (1) xx h x x + = ， 得2x =或 1 2 x = （舍去） ，且( )h x在(1,2)上递增，在(2,4)上递减因此当2x =时， 2 451 ( ) 2(1)2 x g x x = 最大 ，所 以a的取值范围是 1 (, 2 13 【解析】本题主要考查数列的通项 【答案】34 解答如下： 可以求得通项 2 21 ij aiij= +，所以 2 21445iij + =且1ji，从而 2 2 444 446 ii ii + ，解得 21i =，于是13j =，故34ij+= 14 【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系 【答案】52+ 解答如下
15、： 由题可知动直线0axbyc+=过定点(1, 2)A设点( , )M x y，由MPMA可求得点M的轨迹 方程为圆:Q 22 (1)2xy+=，故线段MN长度的最大值为52QNr+=+ 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分 15本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力 解： （1）由题意，2sincossincoscossinABCBCB=+ 2 分 所以2sincossin()sin()sinABB CAA=+=. 3分 因为0Ap，所以sin0A. 所以 1 cos 2 B =. 5 分 因为0Bp， 所以 3 B =. 6 分 （2） 因为12cos5cos2m nAA= 8 分 所以 22 343 10cos12cos510(cos) 55 m nAAA= += + 10 分 学 海 无 涯 6 所以当 3 cos 5 A=时，m n取最大值 此时 4 sin 5 A=（0Ap） ，于是 4 tan 3 A= 12 分 所以 tan11 tan() 4tan17 A A A = + 14 分 16本
