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1、学 海 无 涯 1 一、图形的变换 图形变换的基本方式是图形变换的基本方式是平移平移、对称对称和和旋转旋转。 1 1、轴对称轴对称: : 如果一个图形如果一个图形沿着一条直线对折沿着一条直线对折后后两部分完全重合两部分完全重合，这样的图形叫做这样的图形叫做轴对称图轴对称图 形，形， 这条直线叫做这条直线叫做对称轴对称轴。 等腰三角形等腰三角形有有 1 1 条条对称轴，对称轴， 等边三角形等边三角形有有 3 3 条条对称轴，对称轴， 学过的轴对称平面图形：学过的轴对称平面图形： 长方形长方形有有 2 2 条条对称轴，对称轴， 正方形正方形有有 4 4 条条对称轴，对称轴， 等腰梯形等腰梯形有有
2、1 1 条对称轴，条对称轴， 任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。任意梯形和平行四边形不是轴对称图形。 圆有无数条对称轴。圆有无数条对称轴。 对对称称点到对称轴的距离相等；点到对称轴的距离相等； 对对对称对称点的连线与对称轴垂直；点的连线与对称轴垂直； 对称轴两边的图形大小对称轴两边的图形大小、形状、形状完全相完全相同。同。 对称图形包括对称图形包括 轴对称图形轴对称图形 中心对称图形。平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。中心对称图形。平行四边形（除棱形）属于中心对称图形。 2 2、旋转旋转：在平面内，一个图形绕着：在平面内，一个图形绕着一个顶点一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做
3、旋旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋 转，转，定点定点 O O 叫做旋转中心叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为，原图形上的一点旋转后成为 的另一点成为对应点。的另一点成为对应点。 （1 1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车 （2 2）旋转要明确绕点，角度和方向。）旋转要明确绕点，角度和方向。 （3 3）长方形绕中点旋转）长方形绕中点旋转 180180 度与原来重合，正方形绕中点旋转度与原来重合，正方形绕中点旋转 9090 度与原来重合。等边度与原来重合。等边 三角形绕中点旋转三角形绕中点旋转 120120
4、 度与原来重合。度与原来重合。 （1 1）图）图形的旋转是图形的旋转是图形上的每一点形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动； （2 2）其中对应点到旋转中心的距离相等；）其中对应点到旋转中心的距离相等； （3 3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；）旋转前后图形的大小和形状没有改变； （4 4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角； （5 5）旋转中心是唯一不动的点。）旋转中心是唯一不动的点。 3 3、旋转要注意：、旋转要注意：顺时针顺时针、逆时针逆时针、
5、度数度数 轴对称图形的特征和性轴对称图形的特征和性 旋旋 转转 的的 性性 质：质： 学 海 无 涯 2 因数和倍数因数和倍数 1 1、整除、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。 整数与自然数的关系整数与自然数的关系：整数包括自然数。整数包括自然数。 3 3、因数、倍数：因数、倍数： 大数是小数的倍数，大数是小数的倍数， 小数是大数的因数。小数是大数的因数。 例：例：1212 是是 6 6 的倍数，的倍数，6 6 是是 1212 的因数。的因数。 （1 1）数数 a a 能被能被 b b 整除，那么整除，那么 a a 就是就是 b b 的倍数
6、，的倍数，b b 就是就是 a a 的因数。的因数。 因数和倍数是因数和倍数是相互依存的，不能单独存在相互依存的，不能单独存在。 （2 2）一个数的因数的个数是有限的，其中一个数的因数的个数是有限的，其中 最小的因数是最小的因数是 1 1， 最大的因数是它本身。最大的因数是它本身。 一个数的因数的求法：一个数的因数的求法：（用除法）（用除法）成对成对地地按顺序按顺序找。找。 例如：求例如：求 3636 的因数：的因数：从自然数一开始逐一往下除，不能整除的跳过一直除到商和除数有从自然数一开始逐一往下除，不能整除的跳过一直除到商和除数有 重复， 其中除数和商都是被除数的因数， 重复数保留一个按箭头
7、方重复， 其中除数和商都是被除数的因数， 重复数保留一个按箭头方 向把因数有序排列。向把因数有序排列。 （3 3）一个数的倍数的个数是无限的，最小一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。的倍数是它本身。 一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。 （4 4）2 2、3 3、5 5 的倍数特征的倍数特征 1 1） 个位上是个位上是 0 0，2 2，4 4，6 6，8 8 的数都是的数都是 2 2 的倍数的倍数。 整整 数数 自然数自然数 大数能被小数整除时大数能被小数整除时 大数大数 小数小数 36 36 36 36 36 1 2 3 4 6 = = = =
8、 = 36 18 12 9 6 因此因此 36 的因数有：的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36 提示：提示：找因数要做到找因数要做到不重不漏不重不漏 学 海 无 涯 3 2 2）一个数各位上的数的和是）一个数各位上的数的和是 3 3 的倍数，这个数就是的倍数，这个数就是 3 3 的倍数的倍数。 3 3）个位上是）个位上是 0 0 或或 5 5 的数，是的数，是 5 5 的倍数。的倍数。 4 4）能同时被）能同时被 2 2、3 3、5 5 整除（也就是整除（也就是 2 2、3 3、5 5 的倍数）的倍数） 的最大的两位数是的最大的两位数是 9090， 最小的三位数是最小的三位数是
9、120120。 同时满足同时满足 2 2、3 3、5 5 的倍数，实际是的倍数，实际是 求求 2 23 35=305=30 的倍数。的倍数。 5 5）如果一个数同时是如果一个数同时是 2 2 和和 5 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是的倍数，那它的个位上的数字一定是 0 0。 拓展提高拓展提高 2 2 的倍数：的倍数：若一个整数的个位数字是 0、2、4、6 或 8，则这个数就能被 2 整除。 3 3 的倍数：的倍数：若一个整数的各位数字的和能被 3 整除，则这个整数就能被 3 整除。 4 4 的倍数：的倍数： 若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数就能被 4 整除。 5 5 的倍数
10、：的倍数：若一个整数的末位是 0 或 5，则这个数就能被 5 整除。 6 6 的倍数：的倍数：若一个整数能被 2 和 3 整除，则这个数能被 6 整除。 7 7 的倍数：的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍， 如果差是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。如果差太大或心算不易看出 是否 7 的倍数，就需要继续上 述截尾、倍大、相减、验差截尾、倍大、相减、验差的过 程，直到能清楚判断为止。 2 2、 3 3、 5 5 的的 倍倍 数数 特特 征征 学 海 无 涯 4 例如，判断 133 是否 7 的倍数的过程如下：13327，所以 133 是7的倍数； 又例如判
11、 断6139是否7的倍数的过程如下： 61392 595 ， 595249，所以 6139 是 7 的倍数，余类推。 8 8 的倍数：的倍数：若一个整数的未尾三位数能被 8 整除，则这个数能被 8 整除。 9 9 的倍数：的倍数：若一个整数的数字和能被 9 整除，则这个整数能被 9 整除。 1111 的倍数的倍数： 两种方法： 两种方法： 若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除，则这个数能被 11 整除。 若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去 个位数，如果差是 11 的倍数，则原数能被 11 整除。 如果差太大或心算不易看出是否 11 的倍数，就需要 继续上 述
12、截尾、倍大、相减、验差截尾、倍大、相减、验差的过程，直 到能清楚判断为止。例如，判断 165 是否 11 的倍数 的过程如下：165=11，所以 165 是 11 的倍数；又 例如 判断 2112 是否 11 的倍数的过程如下：2112 209 ， 20911，所以 2112 是 11 的倍数，余类 推。 1313 的倍数：的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的 4 倍， 如果差是 13 的倍数，则原数能被 13 整除。如果差太大或心算不易看 出是否 13 的倍数，就需要 继续上述截尾、倍大、相加、验差截尾、倍大、相加、验差的 过程，直到能清楚判断为止。 学 海 无
13、涯 5 例如例如，判断 247 是否 13 的倍数的过程如下：24+74=52，所以 247 是 13 的倍 数；又例如判断 2496 是否 13 的倍数的过程如下： 249+64273 ， 27+3439，所以 2496 是 13 的倍数，余类推。 1717 的倍数：的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 5 倍， 如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除。如果差太大或心算不易看 出是否 17 的倍数，就需要 继续上述截尾、倍大、相减、验差截尾、倍大、相减、验差的 过程，直到能清楚判断为止。例如，判断 221 是否 17 的倍数的过程 如下：2215=17，所
14、以 221 是 17 的倍 数；又例如判断 4318 是否 17 的倍数的过程如下：43185391 ，391534，所以 4318 是 17 的倍数，余类推。 1919 的倍数：的倍数：若 一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的 2 倍，如果差是 19 的倍数，则原数能被 19 整除。如果差太大或心算 不易看出是否 19 的倍数，就需要 继续上述截尾、倍大、相加、截尾、倍大、相加、 验差验差的过程，直到能清楚判断为止。 例如例如，判断 646 是否 19 的倍数的过程如下：64+62=76，所以 646 是 19 的倍 数；又例如判断 1691 是否 19 的倍数的过程如下：
15、169+12171 ，17+1219，所以 1691 是 19 的倍数，余类推。 若 一个整数的末三位与 7 倍的前面的隔出数的差能被 19 整除，则 这个数能被 19 整除。 （注：隔出数，就是一个数扣除末三位后剩 下的数字。 例如 5012 的隔出数 就是 5； 12590 的隔出数就是 12。 ） 例如例如：判断 21128 是否 19 的倍数的过程如下：217128=19， 所以 21128 是 19 的倍数。 学 海 无 涯 6 2323 的倍数：的倍数：若 一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 23 整除，则这 个数能被 23 整除。（注：这里的隔出数，是一个数扣除末四位后 剩下的数字。）例如：例如：判断 2271595 是否 23 的倍数的过程如下： 15952275=460，460 是 23 的倍数，所以 2271595 是 23 的倍数。 2929 的倍数：的倍数：若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 29 整除，则这个 数能被 29 整除。例如：判断 32625 是否 29 的倍数的过程如下：262
