2020届北京市八中高三下学期自主测试(二)数学试卷及解析

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1、2020 届北京市八中高三下学期自主测试（二） 数学试卷 20203.21 祝考试顺利 一. 选择题（本大题共10 道小题，每道小题4 分，共 40 分） 1. 已知集合21 ,0AxxBx x，则集合 ABU （） A. ( 2,1)B. (0,1)C. (0,)D. ( 2,) 【答案】 D 【解析】 【 分析】 根据并集的定义求解即可 . 【详解】2102ABxxx xx x 故选： D 2. 在复平面内，复数 1i i 对应的点位于（） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象 限 【答案】 C 【解析】 【详解】试题分析： 2 11i iiiiQ， 在复平面内对应的点的

2、坐标为1, 1 ， 位于第三象限，故选C. 3. 已知命题 p：?xR +，ln x0，那么命题 p为（ ） A. ?xR +，ln x0 B. ?xR +，ln x0 C. ?xR +，ln x0 D. ?xR +，ln x0 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 故命题“ p：?xR +，ln x0”的否定 p为：?xR +，ln x0. 故选： A. 4. 设, ,a b cR，且 ab，则 A. acbcB. 11 ab C. 22 abD. 33 ab 【答案】 D 【解析】 【分析】 取特殊值排除 A，

3、B，C，根据函数 3 yx的单调性即可得出正确答案. 【详解】对 A项，当 0c 时，a bacbc，故 A错误； 对 B项，取2a，1b时， 1 1 2 ，不满足 11 ab ，故 B错误； 对 C项，取2a，1b时， 2 2 21()，不满足 22 ab，故 C错误； 对 D项，函数 3 yx在R上单调递增， ab，则 33 ab ，故 D正确; 故选： D 5. 已知函数 ( )f x 的图象与函数2 x y的图象关于 x轴对称，则( )f x （） A. 2 x B. 2 x C. 2 logx D. 2 log x 【答案】 A 【解析】 【分析】 由点( , ) x y 是函数 (

4、 )f x 上任意一点，则点 ( ,)xy 在函数2 x y的图像上，列出方程， 即可得到正确答案 . 【详解】设点 ( , )x y 是函数 ( )f x 上任意一点，则点 ( ,)xy 在函数2 x y的图像上 即 22 xx yy 所以函数 ( )fx 的解析式为： ( )2 x f x 故选： A 6. 已知向量(1 ,3),( 1,0),(3, ).abck r rr 若 2ab r r 与 c r 共线，则实数 k （） A. 0 B. 1C. 3D. 3 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】2(3, 3)ab r r 因为2ab r r 与

5、 c r 共线，所以3330k，解得：1k 故选： B 7. 已知双曲线 2 2 1 x y m 的离心率为3，则 m （） A. 1 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据双曲线的性质求出am，1cm，根据离心率列出等式求解即可. 【详解】am，1cm 因为双曲线 2 2 1 x y m 的离心率为3，所以 1 3 m m 解得： 1 2 m 故选： B 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A. 1 3 B. 2 3 C. 1 D. 2 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解. 【详解

6、】该三视图对应 的 直观图是三棱柱，如下图所示 所以 1 1 1 21 2 ABCA B C V 故选： C 9. 设,m n u v v 为非零向量，则“ mn vv ， 1”是“mnmn vvvv ”的（） A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可. 【详解】证充分性 1(1)nnmnnn rru rrrr (1)mnnnnnn u rrrrrrr 所以 mnmn u rru rr ，即充分性成立 证必要性 222 2mnmnmm nn u rru r

7、ru ru r rr 因为 mnmn u rru rr 所以 2 2222 22mm nnmnmmnn u ru r rru rru ru rrr ，即 cosm nmnmn u r ru rru rr 则向量,m n u r r 反向，即存在 0，使得 u rr mn 由0nmnmnnnn ru rru rrrrr ，则 1 所以 u rr m n， 1，即必要性成立 所以 “ u rr mn， 1”是“mnmn u rru rr ”的充分必要条件 故选： C 10. 为配合“ 2019 双十二”促销活动， 某公司的四个商品派送点如图环形分布，并 且公司给,A B C D四个派送点准备某种商

8、品各50 个. 根据平台数据中心统计发 现，需要将发送给,A B C D四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整 只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1 件商品 . 为完成调整，则（） A. 最少需要 16 次调动，有 2 种可行方案 B. 最少需要 15 次调动，有 1 种可行方案 C. 最少需要 16 次调动，有 1 种可行方案 D. 最少需要 15 次调动，有 2 种可行方案 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项. 【详解】根据题意A，B 两处共需向 C ，D两处调 15 个商品，这 15 个商品应给 D 处 11 个商品， C

9、处 4 个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案： 方案一： A调动 11 个给 D ，B调动 1 个给 A，B调动 4 个给 C，共调动 16 次； 方案二： A调动 10 个给 D ，B调动 5 个给 C，C调动 1 个给 D，共调动 16 次； 故选： A 二、填空题（本大题共5 道小题，每道小题5 分，共 25 分） 11. 在 5 2x的展开式中， 3 x的系数为 _ （用数字作答） 【答案】 40 【解析】 【分析】 根据二项式展开定理求解即可. 【详解】 5 2x展开的通项为 5 5 2 r rr Cx 53r时，2r = 此时 3 x的系数为 2 2 5 240C 故答案

10、为： 40 12. 各项均为正数的等比数列 n a中, 123 1,6aaa, 则 6 3 S S _ . 【答案】 9 【解析】 【分析】 求出公比，根据等比数列的前 n项和公式即可求解 . 【详解】设等比数列na的公比为 q 因为 123 1,6aaa，所以 2 1 11 1 6 a aaqq ，解得 3q (舍)， 2q = 6 6 1(12 ) 63 12 S， 3 3 1(12 ) 7 12 S 则 6 3 63 9 7 S S 故答案为： 9 13. 抛物线 2 2ypx上一点 M 到焦点 (1,0)F 的距离等于 4，则 p =_；点 M 的坐 标为_ . 【答案】 (1). 2

11、 (2). (3, 2 3) 【解析】 【分析】 根据焦点坐标求出 2p ，根据抛物线的定义求出点M坐标即可 . 【详解】因为焦点 (1,0)F ，所以 2p 设点 2 (, ) 4 y My，根据抛物线的定义得： 2 14 4 y ，解得2 3y 所以点 M 的坐标为(3, 2 3) 故答案为： 2；(3, 2 3) 14. 在ABC中,2 ,sin3 sinabCB , 则 cosB_ 【答案】 6 3 【解析】 【分析】 根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可得3cb 由余弦定理可得 222222 236 cos 23 223 acbbbb B ac bb 故答案

12、为： 6 3 15. 已知函数 ( )sin2cosfxxx. ( )fx 的最大值为 _ ； 设当 x时，( )f x 取得最大值，则 cos_. 【答案】 (1). 5 (2). 2 5 5 【解析】 【分析】 由辅助角公式以及正弦函数的性质得到 ( )f x 的最大值；根据的结果以及诱导公 式化简即可求解 . 【详解】( )sin2cos5 sin()f xxxx， ( 其中 2 5 sin 5 ， 5 cos 5 ) 当 2 2 xk，即2 2 xk时， ( )f x 取最大值5 由题意可知2 2 k 2sin 2sin 2 cos 5 c s 2 o 5 kk 故答案为：5； 2 5

13、 5 三、解答题（本大题共6 道小题，共 85 分） 16. 已知函数 2 ( )3 sincossin, 222 xxx fx其中0. （1）若函数 ( )f x 的 最小正周期为 2，求的值； （2）若函数 ( )f x 在区间 0, 2 上的最大值为 3 2 ，求的取值范围 . 【答案】 （1）； （2） 4 3 【解析】 【分析】 (1) 利用倍角公式以及辅助角公式化简函数 ( )fx ，根据周期公式求出的值； (2) 利用 0,0 2 x求出 6626 x， 结合正弦函数的性质列出不等 式即可求解 . 【详解】 （1）因为 2 ( )3 sincossin 222 xxx f x 3

14、1cos sin 22 x x 311 sincos 222 xx 1 sin() 62 x. 因为 ( )f x 的最小正周期为 2，即 2 2T 所以 . （2）因为 0,0 2 x ， 所以 6626 x. 若 ( )fx 在区间 0, 2 上取到最大值 3 2 ，只需 262 ， 所以 4 3 . 17. 为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336 名学生同时参与了 “我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动. 为了了解学生的 运动状况，采用分层抽样的方法从高一、 高二两个年级的学生中分别抽取7 名和 5 名学生进行测试 . 下表是高二年级的5 名学生的测试数

15、据（单位：个/ 分钟） ： （1）求高一、高二两个年级各有多少人？ （2）设某学生跳绳 m个/ 分钟，踢毽n个/ 分钟. 当 175m，且75n时，称该学 生为“运动达人”. 从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率； 从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取 3 人，求抽取的 3 名学生中为“运 动达人”的人数的分布列和数学期望 . 【答案】 （1）196 人，140人； （2） 3 5 ；分布列见解析， 9 5 E 【解析】 【分析】 (1) 按照比例求解即可； (2) 根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解； 找出可能的取值，算出相应的概率，

16、列出分布列，即可得到的期望 . 【详解】 （1）设高一年级有 a人，高二年级有 b 人. 采用分层抽样，有 75 , 33612 33612 ab . 所以高一年级有 196人，高二年级有 140人. （2）从上表可知，从高二抽取的5 名学生中，编号为1，2，5 的学生是“运动达 人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为 3 5 . （3）的所有可能取值为1,2,3. 12 32 3 5 3 (1) 10 C C P C , 21 32 3 5 3 (2) 5 C C P C , 3 3 3 5 (3) 1 10 C P C . 所以分布列为 123 P 3 10 3 5 1 10 故的期望 3319 ( )123 105105 E. 18. 已知在四棱锥 PABCD 中，底面 A