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1、学 海 无 涯 1 1 2016 中考复习压轴题专题训练中考复习压轴题专题训练 一解答题（共一解答题（共 30 小题）小题） 1 （2013重庆）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B（5，0） ，另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C（0，5） （1）求直线 BC 与抛物线的解析式； （2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MNy 轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点，以 BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边 形 CBPQ
2、 的面积为 S1，ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标 2 （2013重庆）如图，对称轴为直线 x=1 的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（3，0） （1）求点 B 的坐标； （2）已知 a=1，C 为抛物线与 y 轴的交点 若点 P 在抛物线上，且 SPOC=4SBOC求点 P 的坐标； 设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值 3 （2013雅安）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（3，0） ，B（1，0） ，C（0，3）三点，其顶点为 D，对称轴
3、是直线 l，l 与 x 轴交 于点 H （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点，求PBC 周长的最小值； （3）如图（2） ，若 E 是线段 AD 上的一个动点（ E 与 A、D 不重合） ，过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，ADF 的面积为 S 求 S 与 m 的函数关系式； S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点 E 的坐标； 若不存在，请说明理由 4 （2013新疆）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其
4、中 A 点的坐标是（1，0） ， C 点坐标是（4，3） （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D，使BCD 的周长最小？若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点 E 是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线 AC 的下方，试求ACE 的最大面积及 E 点的坐标 学 海 无 涯 2 2 5 （2013湘潭）如图，在坐标系 xOy 中，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0） ，B（0，2） ，抛物线 y=x2+bx2 的图象 过 C 点 （1）求抛物线的解析式； （2）平移该抛物线的对称轴所在直线 l当 l 移动到何处时，恰好将
5、ABC 的面积分为相等的两部分？ （3）点 P 是抛物线上一动点，是否存在点 P，使四边形 PACB 为平行四边形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由 6 （2013梧州）如图，抛物线 y=a（xh）2+k 经过点 A（0，1） ，且顶点坐标为 B（1，2） ，它的对称轴与 x 轴交于点 C （1）求此抛物线的解析式 （2）在第一象限内的抛物线上求点 P，使得ACP 是以 AC 为底的等腰三角形，请求出此时点 P 的坐标 （3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与 AC 距离最 远的点的坐标 考点： 二次函数综
6、合题2364070 分析： （1）由抛物线 y=a（xh）2+k 的顶点坐标是 B（1，2）知：h=1，k=2，则 y=a（x1）2+2，再把 A 点坐标代入此解析 式即可； （2）易知OAC 是等腰直角三角形，可得 AC 的垂直平分线是直线 y=x，根据“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”知直 线 y=x 与抛物线的交点即为点 P，解方程组即可求出 P 点坐标； 学 海 无 涯 3 3 （3）先求出第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点的坐标，再与 P 点的坐标比较进行判断满足条件的点一定是与直线 AC 平行且与 抛物线有唯一交点的直线与抛物线相交产生的，易求出直线 AC 的
7、解析式，设出与 AC 平行的直线的解析式，令它与抛物线的解析式组成 的方程组有唯一解，求出交点坐标，通过判断它与点 P 是否重合来判断点 P 是否是第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点 解答： 解： （1）抛物线 y=a（xh）2+k 顶点坐标为 B（1，2） ， y=a（x1）2+2， 抛物线经过点 A（0，1） ， a（01）2+2=1， a=1， 此抛物线的解析式为 y=（x1）2+2 或 y=x2+2x+1； （2）A（0，1） ，C（1，0） ， OA=OC， OAC 是等腰直角三角形 过点 O 作 AC 的垂线 l，根据等腰三角形的“三线合一”的性质知：l 是 AC 的中垂线
8、， l 与抛物线的交点即为点 P 如图，直线 l 的解析式为 y=x， 解方程组， 得，（不合题意舍去） ， 点 P 的坐标为（，） ； （3）点 P 不是第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点 由（1）知，点 C 的坐标为（1，0） 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b， 则，解得， 直线 AC 的解析式为 y=x+1 设与 AC 平行的直线的解析式为 y=x+m 解方程组， 代入消元，得x2+2x+1=x+m， 此点与 AC 距离最远， 直线 y=x+m 与抛物线有且只有一个交点， 即方程x2+2x+1=x+m 有两个相等的实数根 整理方程得：x23x+m1=0， =94（m1）=0
9、，解之得 m= 则 x23x+1=0，解之得 x1=x2=，此时 y= 第一象限内此抛物线上与 AC 距离最远的点的坐标为（，） 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求直线、抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定 与性质，两函数图象交点坐标的求法，二次函数与一元二次方程的关系，综合性较强，难度适中 7 （2013威海）如图，已知抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，AB=2，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x=2 （1）求抛物线的函数表达式； 学 海 无 涯 4 4 （2）设 P 为对称轴上一动点，求APC 周长的最小值； （3）设 D 为抛物
10、线上一点，E 为对称轴上一点，若以点 A，B，D，E 为顶点的四边形是菱形，则点 D 的坐标为 （2，1） 考点： 二次函数综合题2364070 分析： （1）根据抛物线对称轴的定义易求 A（1，0） ，B（3，0） 所以 1、3 是关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两根由 韦达定理易求 b、c 的值； （2） 如图， 连接 AC、 BC， BC 交对称轴于点 P， 连接 PA 根据抛物线的对称性质得到 PA=PB， 则APC 的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC， 所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可； （3）如图 2，点 D 是抛物线的顶点，所以根据
11、抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点 D 的坐标 解答： 解： （1）如图，AB=2，对称轴为直线 x=2 点 A 的坐标是（1，0） ，点 B 的坐标是（3，0） 抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B， 1、3 是关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两根 由韦达定理，得 1+3=b，13=c， b=4，c=3， 抛物线的函数表达式为 y=x24x+3； （2）如图 1，连接 AC、BC，BC 交对称轴于点 P，连接 PA 由（1）知抛物线的函数表达式为 y=x24x+3，A（1，0） ，B（3，0） ， C（0，3） ， BC=3，AC= 点 A、B 关于对称轴
12、 x=2 对称， PA=PB， PA+PC=PB+PC 此时，PB+PC=BC 点 P 在对称轴上运动时， （PA+PB）的最小值等于 BC APC 的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3+； （3）如图 2，根据“菱形 ADBE 的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点 D 是抛物线 y=x24x+3 的顶点坐标，即（2，1） 故答案是： （2，1） 学 海 无 涯 5 5 点评： 本题考查了二次函数综合题解题过程中用到的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，轴对称两点间距离最 短，菱形的性质解（1）题时，也可以把点 A、B 的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数 b、c 的方
13、程组，通过解方程组来求它们的值 8 （2013铜仁地区）如图，已知直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，点 C 是抛物线与 x 轴的另一个交点（与 A 点不重合） （1）求抛物线的解析式； （2）求ABC 的面积； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 M，使ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点 M 的坐标 考点： 二次函数综合题2364070 专题： 综合题；压轴题 分析： （1）根据直线解析式求出点 A 及点 B 的坐标，然后将点 A 及点 B 的坐标代入抛物线解析式，可得出 b、c 的值，求出 抛物
14、线解析式； （2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点 C 的坐标，继而求出 AC 的长度，代入三角形的面积公式即可计算； （3）根据点 M 在抛物线对称轴上，可设点 M 的坐标为（1，m） ，分三种情况讨论，MA=BA，MB=BA，MB=MA，求出 m 的 值后即可得出答案 解答： 解： （1）直线 y=3x3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点， 可得 A（1，0） ，B（0，3） ， 把 A、B 两点的坐标分别代入 y=x2+bx+c 得：， 解得： 抛物线解析式为：y=x2+2x3 （2）令 y=0 得：0=x2+2x3， 解得：x1=1，x2=3， 则 C 点坐标为： （3，0）
15、 ，AC=4， 故可得 SABC=ACOB=43=6 （3）抛物线的对称轴为：x=1，假设存在 M（1，m）满足题意： 讨论： 当 MA=AB 时， 学 海 无 涯 6 6 解得：， M1（1，） ，M2（1，） ； 当 MB=BA 时， 解得：M3=0，M4=6， M3（1，0） ，M4（1，6） （不合题意舍去） ， 当 MB=MA 时， 解得：m=1， M5（1，1） ， 答：共存在 4 个点 M1（1，） ，M2（1，） ，M3（1，0） ，M4（1，1）使ABM 为等腰三角形 点评： 本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在
16、第三 问，注意分类讨论，不要漏解 9 （2013泰安）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 y 轴交于点 C（0，4） ，与 x 轴交于点 A，B，且 B 点的坐标为（2，0） （1）求该抛物线的解析式 （2）若点 P 是 AB 上的一动点，过点 P 作 PEAC，交 BC 于 E，连接 CP，求PCE 面积的最大值 （3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且OMD 为等腰三角形，求 M 点的坐标 考点： 二次函数综合题2364070 专题： 压轴题 分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）首先求出PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值； （3）OMD 为等腰
