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1、学 海 无 涯 1 旋转问题 考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三 角形和四边形的性质与判定等。 旋转性质-对应线段、对应角的大小不变， 对应线段的夹角等于旋转角。 注意旋转过程 中三角形与整个图形的特殊位置。 一、直线的旋转 1、(2009 年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B 是线段MN上的两点，4=MN，1=MA， 1MB以A为中心顺时针旋转点M，以B 为中心逆时针旋转点N， 使M、N两点重合成 一点C，构成ABC，设xAB= （1）求x的取值范围； （2）若ABC为直角三角形，求x的值； （3）探究：ABC的最大面积？ 2、 （2009 年河南）如图，在 RtABC 中， ACB=90,
2、 B =60，BC=2点0是 AC 的中点， 过点0的直线 l 从与 AC 重合的 位置开始，绕点0作逆时针旋转，交 AB 边 于点 D.过点 C 作 CEAB 交直线 l 于点 E， 设直线 l 的旋转角为. (1)当=_度时， 四边形 EDBC 是 等腰梯形，此时 AD 的长为_； 当=_度时， 四边形 EDBC 是直 角梯形，此时 AD 的长为_； (2)当=90时,判断四边形 EDBC 是否为 菱形，并说明理由 3、 （2009 年北京市） 在ABCD中，过点 C 作 CECD 交 AD 于点 E,将线段 EC 绕点 E 逆时针旋转90得 到线段 EF(如图 1) （1）在图 1 中画
3、图探究： 当 P 为射线 CD 上任意一点（P1不与 C 重合）时，连结 EP1绕点 E 逆时针旋转90 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位 置关系，并加以证明； 当 P2为线段 DC 的延长线上任意一点时， 连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90 得到线段 EC2.判断直线 C1C2与直线 CD 的 位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2） 若 AD=6,tanB= 4 3 ,AE=1,在的条件下， 设 CP1=x，S 11 PFC=y，求y与x之间的 函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 分析：此题是综合开放题-已知条件、 问题结论、解题依据、解题方法这四个要素
4、中缺少两个或两个以上，条件需要补充，结 论需要探究， 解题方法、 思考方向有待搜寻。 解决此类问题，一般要经过观察、实 验、分析、比较、类比、归纳、推断等探究 活动来寻找解题途径。可从简单、特殊的情 况入手，由此获得启发和感悟，进而找到解 决问题的正确途径，是我们研究数学问题， 进行猜想和证明的思维方法。华罗庚说：善 于退，足够地退，退到最原始而不失重要性 的地方，这是学好数学的一个诀窍。 提示： （1）运用三角形全等， C A B N M （第 1 题） 学 海 无 涯 2 A D C B P M Q 60 （2）按 CP=CE=4 将 x 取值分为两段 分类讨论；发现并利用好 EC、EF
5、相 等且垂直。 4、 （2009 黑龙江大兴安岭） 已知：在ABC中，ACBC ，动点D绕 ABC的 顶 点A逆 时 针 旋 转 ， 且 BCAD =，连结DC过AB、DC的中 点E、F作直线， 直线EF与直线AD、BC 分别相交于点M、N （1）如图 1，当点D旋转到BC的延长线 上时，点N恰好与点F重合，取AC的中 点H，连结HE、HF，根据三角形中位 线 定 理 和 平 行 线 的 性 质 ， 可 得 结 论 BNEAMF=（不需证明） （2） 当点D旋转到图 2 或图 3 中的位置时， AMF与BNE有何数量关系？请分别 写出猜想，并任选一种情况证明 二、角的旋转 5、（2009 年中
6、山）（1） 如图 1， 圆心接ABC 中，ABBCCA=，OD、OE为O的 半径，ODBC于点F，OEAC于点 G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是 ABC的面积的 1 3 （2） 如图 2， 若DOE保持120角度不变， 求证：当DOE绕着O点旋转时，由两条 半径和ABC的两条边围成的图形（图中 阴影部分） 面积始终是ABC的面积的 1 3 （2009 襄樊市）如图，在梯形ABCD中， 24ADBCADBC=，点M是 AD的中点，MBC是等边三角形 （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）动点P、Q分别在线段BC和MC上 运 动 ， 且60MPQ=保 持 不 变 设 PCxMQy=，
7、求y与x的函数关系 式； （3）在（2）中： 当动点P、Q运动到何处时， 以点P、M 和点A、B、C、D中的两个点为顶点的 四边形是平行四边形？并指出符合条件的 平行四边形的个数； 当y取最小值时，判断PQC的形状， 并说明理由 提示:第（3）问， 两种情形- PM AB , PMCD 第（3）问， 求出 y 最小值为 3，此 时 x=PC=2,点 P 到 BC 中点，PMBC . 图 2 图 3 图 1 H M F E A B C D M N F E A B C D M N F E A B C D (N) 学 海 无 涯 3 6、 （2009 年重庆市）已知：如图，在平面直 角坐标系xOy中
8、，矩形OABC的边OA在y 轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2， OC=3 过原点O作AOC的平分线交AB于点 D， 连接DC， 过点D作DEDC， 交OA于点E （1）求过点E、D、C的抛物线的解析式； （2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后， 角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边 与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛 物线交于另一点M，点M的横坐标为 6 5 ，那 么EF=2GO是否成立？若成立， 请给予证明； 若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限 内的该抛物线上是否存在点Q， 使得直线GQ 与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等 腰三角形？若
9、存在，请求出点Q的坐标；若 不存在，请说明理由 提示：第（3）问，PGC 为等腰三角形按 哪两边相等分类讨论，求出点 P 坐标，再求 点 Q 坐标。 三、三角形的旋转 7、 （2009 年邵阳市）如图，将 RtABC(其 中B34 0 ，C90 0 ）绕 A 点按顺时针 方向旋转到AB1 C1的位置， 使得点 C、 A、 B1 在同一条直线上， 那么旋转角最小等于 （ ） A.56 0 B.68 0 C.124 0 D.180 0 8、 （2009 年包头）如图，已知ACB与 DFE是两个全等的直角三角形，量得它 们的斜边长为 10cm，较小锐角为 30，将 这两个三角形摆成如图（1）所示的形
10、状， 使点BCFD、 、 、在同一条直线上，且点 C与点F重合，将图（1）中的ACB绕 点C顺时针方向旋转到图 （2） 的位置， 点E 在AB边上，AC交DE于点G，则线段 FG的 长 为 cm （ 保 留 根 号） 34 0 B C B A C 6 题图 y x D B C A E E O 学 海 无 涯 4 B A C A B 9、 （2009 河池）如图 9，ABC的顶点坐 标分别为(36)(13)AB，(4 2)C ，若将 ABC绕C点顺时针旋转90，得到 ABC ，则点A的对应点 A 的坐标 为 10、 （2009 年郴州市）如图，桌面上平放着 一块三角板和一把直尺， 小明将三角板的
11、直 角顶点紧靠直尺的边缘， 他发现无论是将三 角板绕直角顶点旋转， 还是将三角板沿直尺 平移，1与2的和总是保持不变， 那么1 与2的和是_度 11、（2009 年台州市） 如图， 三角板ABC中， =90ACB，=30B，6=BC 三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A 的对应点 A落在AB边的起始位置上时即 停止转动，则B点转过的路径长 为 12、 （2009 年凉山 州 ） 将ABC绕 点B逆 时 针 旋 转 到 ABC使AB C 、 、在同一直线上，若 90BCA=，304cmBACAB= ， 则图中阴影部分面积为 cm2 13、 （2009 年郴州市）如图 6，在下面的方 格图中，将A
12、BC 先向右平移四个单位得 到A1B1C1，再将A1B1C1绕点 A1逆时 针旋转90得到DA 1B2C2，请依次作出 A1B1C1和A1B2C2。 14、(2009 年达州)如图 7，在ABC 中，AB 2BC， 点 D、点 E 分别为 AB、AC 的中点， 连结 DE，将ADE 绕点 E 旋转 180 得到 CFE.试判断四边 形 BCFD 的形状， 并说明理由. 15、（2009 襄樊市） 如图所示， 在RtABC 中，90ABC =将RtABC绕点C顺 时针方向旋转60得到DEC，点E在 AC上，再将RtABC沿着AB所在直线 翻转180得到ABF连接AD （1）求证：四边形AFCD是
13、菱形； （2）连接BE并延长交AD于G，连接 CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行 四边形？为什么？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 O A B C y x 图 9 C (F) D 图（2） 21 图 A B C 30 A C B C A 30 （12 题） 学 海 无 涯 5 B1 AO B A1 A D G E C B 16、（2009 年株洲市） 如图， 在Rt OAB中， 90OAB=，6OAAB=， 将OAB绕 点O沿逆时针方向旋转90得到 11 OAB （1）线段 1 OA的长是 ， 1 AOB的度数是 ； （2）连结 1 AA，求证：四边形 1
14、1 OAAB是平 行四边形； （3）求四边形 11 OAAB的面积 17、 （2009 烟台市）如图，直角梯形 ABCD 中 ，BCAD，90BCD=， 且 2tan2CDADABC=，过点 D 作 ABDE，交BCD的平分线于点 E，连 接 BE （1）求证：BCCD=； （2）将BCE绕点 C，顺时针旋转90得 到DCG，连接 EG.求证：CD 垂直平 分 EG. （3） 延长 BE 交 CD 于点 P 求证： P 是 CD 的中点即BCCD= 18、 （2009 年山西省） 在ABC中， 2120ABBCABC=， ，将ABC 绕点B顺时针旋转角(0 90 )得 ABCAB 111 ，交
15、AC于点E， 11 AC分别 交ACBC、于DF、两点 （1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中， 线段 1 EA与FC有怎样的 数量关系？并证明你的 结论； （2） 如图2， 当30=时， 试判断四边形 1 BC DA的形状， 并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED的长 提示： （1）考查三角形旋转过程中的不变量 再导出图形各线段间的各种关系； （2）在特殊条件下， 得到线段间的特殊关系。 A D B E C F 1 A 1 C A D B E C F 1 A A D F C E G B 学 海 无 涯 6 19、 （2009 年牡丹江） 已知RtABC中， 90ACBCCD=，为AB边的中 点，90EDF= ，EDF绕D点旋转， 它的两边分别交AC、CB（或它们的延长 线）于E、F当EDF绕D点旋转到 DEAC于E时 （ 如 图1 ）
