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1、学 海 无 涯 1 数列专题数列专题复习（复习（0929） 一、证明等差等比数列 1 等差数列的证明方法：等差数列的证明方法： （1）定义法：）定义法： 1nn aad + =(常数常数) （2）等差中项法：等差中项法： 11 2(2) nnn aaa n + += 2等比数列的证明方法：等比数列的证明方法： （1）定义法：）定义法： 1n n a q a + =(常数常数) （2）等）等比比中项法：中项法： 2 11 (2) nnn aaan + = 例例 1.设an为等差数列，Sn为数列an的前 n 项和，已知 S77，S1575， Tn为数列 n Sn 的前 n 项和，求 Tn 解：设等
2、差数列an的公差为 d，则 Sn=na1 2 1 n（n1）dS77，S1575， =+ =+ ,7510515 , 7217 1 1 da da 即 =+ =+ , 57 , 13 1 1 da da 解得 a12，d1 n Sn a1 2 1 （n1）d2 2 1 （n1） 2 1 1 1 = + + n S n S nn ，数列 n Sn 是等差数列，其首项为2，公差为 2 1 ， Tn 4 1 n2 4 9 n 例 2设数列an的首项 a1=1，前 n 项和 Sn满足关系式： 3tSn（2t+3）Sn1=3t（t0，n=2，3，4，） 求证：数列an是等比数列； 解： （1）由 a1=
3、S1=1，S2=1+a2，得 a2= t t a a t t 3 23 , 3 23 1 2 + = + 又 3tSn（2t+3）Sn1=3t 3tSn1（2t+3）Sn2=3t 得 3tan（2t+3）an1=0 t t a a n n 3 32 1 + = ， （n=2，3，） 所以an是一个首项为 1，公比为 t t 3 32 + 的等比数列. 练习：练习：已知 a1=2，点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上，其中=1，2，3， （1） 证明数列lg(1+an)是等比数列； （2） 设 Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求 Tn及数列an的通项； 答案
4、 .(2) 21 3 n n T =, 21 31 n n a =; 二通项的求法二通项的求法 （1）利用等差等比的通项公式利用等差等比的通项公式 (2)累加法：累加法： 1 ( ) nn aaf n + = 例 3已知数列 n a满足 2 1 1 =a， nn aa nn + += + 2 1 1 ，求 n a。 解：由条件知： 1 11 ) 1( 11 2 1 + = + = + = + nnnnnn aa nn 分别令) 1( , 3 , 2 , 1 =nn，代入上式得) 1( n个等式累加之，即 )()()()( 1342312 + + nn aaaaaaaa ) 1 1 1 () 4
5、 1 3 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( nn + +=所以 n aan 1 1 1 = 2 1 1= a， nn an 1 2 31 1 2 1 =+= （3）构造等差或等比构造等差或等比 1nn apaq + =+或或 1 ( ) nn apaf n + =+ 例例 4已知数列 n a满足 * 11 1,21(). nn aaanN + =+ 求数列 n a的通项公式； 解： * 1 21(), nn aanN + =+ 1 12(1), nn aa + + =+ 1 n a+是以 1 12a + =为首项，2 为公比的等比数列。 12 . n n a+ = 即 * 21(
6、). n n anN= 例例 5已知数列 n a中， 1 1a =, 1 1 11 ( ) 22 n nn aa + + =+，求 n a. 学 海 无 涯 2 解：在 1 1 11 ( ) 22 n nn aa + + =+两边乘以 1 2 +n 得： 1 1 2(2)1 nn nn aa + + =+ 令2n nn ba=，则 1 1 nn bb + =,解之得： 1 11 n bbnn=+ =,所以 1 22 n n nn bn a =. 练习练习:已知数列a n 满足）（2n12a2a n 1nn += ，且81a4=。 （1）求 321 aaa，； （2）求数列a n 的通项公式。
7、解： （1）33a13a5a 321 =， （2） n 1nn n 1nn 2) 1a (21a12a2a+=+= 1n 2 1a 1 2 1a 2 1a n n 1n 1n n n += + = 12) 1n(a n n += （4）利用）利用 1( 2) 1( 1) nn SSn S n n a = = 例例 6若 n S和 n T分别表示数列 n a和 n b的前n项和，对任意正整数 2(1) n an=+，34 nn TSn=.求数列 n b的通项公式； 解： 2 2(1)423 1 anadSnn nn = += = = 2 3435TSnnn nn =+= 2 分 当 1,3 58
8、 11 nTb= =时 当 2,6262. 1 nbTTnbn nnnn = 时 4 分 练习练习：1. 已知正项数列an，其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通 项 an 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆 解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆 又 10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(
9、an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆 当 a1=3 时，a3=13，a15=73 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆 a1， a3，a15不成等比数列a13; 当 a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 王新敞 特级教师 源头学子小屋 新疆 2设数列 n a的前n项的和 1 412 2 333 n nn Sa + = +，1,2,3,n=
10、（）求首项 1 a与通项 n a； （）设 2n n n T S =，1,2,3,n=，证明： 1 3 2 n i i T = 解： （I） 2 111 412 2 333 aSa=+ ，解得：1 2a = () 21 111 441 22 333 nn nnnnn aSSaa + + = () 1 1 242 nn nn aa + + +=+ 所以数列 2n n a + 是公比为 4 的等比数列 所以： () 11 1 224 nn n aa +=+ 得： 42 nn n a = （其中 n 为正整数） （II） ()()() 111 4124122 242221 21 3333333 nn
11、nnnn nn Sa + =+=+= ()() 1 1 232311 22212121 21 nn n nn nn n T S + + = 所以： 11 1 3113 221212 n i n i T + = = （5）累积法）累积法 nn anfa)( 1=+ 转化为)( 1 nf a a n n = + ，逐商相乘. 例例 7已知数列 n a满足 3 2 1 =a， nn a n n a 1 1 + = + ，求 n a。 解：由条件知 1 1 + = + n n a a n n ，分别令) 1( , 3 , 2 , 1 =nn，代入上式得) 1( n个等式累乘之，即 324 1231 n
12、 n aaaa aaaa n n 1 4 3 3 2 2 1 = na an1 1 = 又 3 2 1= a， n an 3 2 = 练习练习：1.已知3 1 =a， nn a n n a 23 13 1 + = + ) 1( n，求 n a。 学 海 无 涯 3 解： 1 3(1) 1 3(2) 13 2 1 3 1 3(1)2 3(2)23 22 32 n nn aa nn = + + 34 375 26 3 31 348 531 nn nnn = = 。 2已知数列an，满足 a1=1， 1321 ) 1(32 + += nn anaaaa (n2)， 则an的通项 1 _ n a =
13、1 2 n n = 解：由已知，得 nnn naanaaaa+ += +13211 ) 1(32，用此式减去已知式，得 当2n时， nnn naaa= +1 ，即 nn ana) 1( 1 += + ，又1 12 = aa， n a a a a a a a a a n n = = 13 4 2 3 1 2 1 , 4, 3, 1, 1，将以上 n 个式子相乘，得 2 ! n an=)2( n （6）倒数变形：）倒数变形： 1 n n n a a paq + = + ,两边取倒数后换元转化为qpaa nn += +1 。 例 8：已知数列an满足：1, 13 1 1 1 = + = a a a
14、a n n n ，求数列an的通项公式。 解：取倒数： 11 1 1 3 131 += + = nn n n aa a a n a 1 是等差数列，3) 1( 11 1 +=n aan 3) 1(1+=n 23 1 = n an 练习练习：已知数列an满足：a1 3 2 ，且 an n1 n1 3na n2nN 2an 1 （，） 求数列an的通项公式； 解：将条件变为：1 n n a n1 1n1 1 3a （ ），因此1 n n a 为一个等比数列，其首项为 1 1 1 a 1 3 ，公比 1 3 ，从而 1 n n a n 1 3 ，据此得 an n n n 3 31 （n1） 三数列求
15、和三数列求和 1、等差数列求和公式：等差数列求和公式：d nn na aan S n n 2 ) 1( 2 )( 1 1 += + = 2、等比数列求和公式：、等比数列求和公式： = = = ) 1( 11 )1 ( ) 1( 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 3、错位相减法求和、错位相减法求和 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列分别是等差数列和等比数列. 1 12 2nnn Saba ba b=+ 例例 9 求和： 132 ) 12(7531 + += n n xnxxxS 解：由题可知，设 132 ) 12(7531 + += n n xnxxxS n n xnxxxxxS) 12(7531 432 + +=（设制错位） 得 nn n xnxxxxxSx) 12(222221)1 ( 1432 + += （错位相减） 再 利用等比数列的求和公式得： n n n xn x x xSx) 12( 1 1 21)1 (
